Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6826 / 1752
↖ ↑ ↗
← N 80.327506°
W 30.014648°		 ← 410.51 m → N 80.327506°
W 29.992676°		 →
↑
410.61 m
↓
↑
410.61 m
↓
N 80.323813°
W 30.014648°		 ← 410.67 m →
168 592 m²		 N 80.323813°
W 29.992676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416656494140625 y=0.106964111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416656494140625 × 214)
    floor (0.416656494140625 × 16384)
    floor (6826.5)     		tx = 6826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106964111328125 × 214)
    floor (0.106964111328125 × 16384)
    floor (1752.5)     		ty = 1752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6826 / 1752 ti = "14/6826/1752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6826/1752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6826 ÷ 214
    6826 ÷ 16384     		x = 0.4166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1752 ÷ 214
    1752 ÷ 16384     		y = 0.10693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52385444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10693359375 × 2 - 1) × π
    0.7861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46970906842529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52385444} λ = -0.52385444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46970906842529))-π/2
    2×atan(11.8190078288513)-π/2
    2×1.48638789271066-π/2
    2.97277578542133-1.57079632675     		φ = 1.40197946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52385444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.014648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40197946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.327506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6826 KachelY 1752 -0.52385444 1.40197946 -30.014648 80.327506
    Oben rechts KachelX + 1 6827 KachelY 1752 -0.52347094 1.40197946 -29.992676 80.327506
    Unten links KachelX 6826 KachelY + 1 1753 -0.52385444 1.40191501 -30.014648 80.323813
    Unten rechts KachelX + 1 6827 KachelY + 1 1753 -0.52347094 1.40191501 -29.992676 80.323813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40197946-1.40191501) × R
    6.44499999999937e-05 × 6371000     		dl = 410.61094999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40197946-1.40191501) × R
    6.44499999999937e-05 × 6371000     		dr = 410.61094999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52385444--0.52347094) × cos(1.40197946) × R
    0.000383499999999981 × 0.168016152863802 × 6371000     		do = 410.510253944821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52385444--0.52347094) × cos(1.40191501) × R
    0.000383499999999981 × 0.168079686309222 × 6371000     		du = 410.665483846046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40197946)-sin(1.40191501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168016152863802-0.168079686309222)×R²
    abs(-0.52347094--0.52385444)×6.35334454195946e-05×R²
    0.000383499999999981×6.35334454195946e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.35334454195946e-05×40589641000000     		ar = 168591.874964227m²