Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6826 / 10654
↖ ↑ ↗
← S 47.487513°
W 30.014648°		 ← 1 651.05 m → S 47.487513°
W 29.992676°		 →
↑
1 650.79 m
↓
↑
1 650.79 m
↓
S 47.502359°
W 30.014648°		 ← 1 650.58 m →
2 725 147 m²		 S 47.502359°
W 29.992676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416656494140625 y=0.650299072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416656494140625 × 214)
    floor (0.416656494140625 × 16384)
    floor (6826.5)     		tx = 6826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650299072265625 × 214)
    floor (0.650299072265625 × 16384)
    floor (10654.5)     		ty = 10654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6826 / 10654 ti = "14/6826/10654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6826/10654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6826 ÷ 214
    6826 ÷ 16384     		x = 0.4166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10654 ÷ 214
    10654 ÷ 16384     		y = 0.6502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52385444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.300537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.944165174916626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52385444} λ = -0.52385444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944165174916626))-π/2
    2×atan(0.389004185836429)-π/2
    2×0.3709914356116-π/2
    0.741982871223201-1.57079632675     		φ = -0.82881346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52385444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.014648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82881346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.487513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6826 KachelY 10654 -0.52385444 -0.82881346 -30.014648 -47.487513
    Oben rechts KachelX + 1 6827 KachelY 10654 -0.52347094 -0.82881346 -29.992676 -47.487513
    Unten links KachelX 6826 KachelY + 1 10655 -0.52385444 -0.82907257 -30.014648 -47.502359
    Unten rechts KachelX + 1 6827 KachelY + 1 10655 -0.52347094 -0.82907257 -29.992676 -47.502359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82881346--0.82907257) × R
    0.000259110000000007 × 6371000     		dl = 1650.78981000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82881346--0.82907257) × R
    0.000259110000000007 × 6371000     		dr = 1650.78981000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52385444--0.52347094) × cos(-0.82881346) × R
    0.000383499999999981 × 0.675750869883859 × 6371000     		do = 1651.04757174345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52385444--0.52347094) × cos(-0.82907257) × R
    0.000383499999999981 × 0.675559849425457 × 6371000     		du = 1650.58085556437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82881346)-sin(-0.82907257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675750869883859-0.675559849425457)×R²
    abs(-0.52347094--0.52385444)×0.000191020458401803×R²
    0.000383499999999981×0.000191020458401803×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191020458401803×40589641000000     		ar = 2725147.29735084m²