Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68254 / 68746
↖ ↑ ↗
← S  8.781940°
E  7.465210°		 ← 301.85 m → S  8.781940°
E  7.467957°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.784654°
E  7.465210°		 ← 301.84 m →
91 095 m²		 S  8.784654°
E  7.467957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520740509033203 y=0.524494171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520740509033203 × 217)
    floor (0.520740509033203 × 131072)
    floor (68254.5)     		tx = 68254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524494171142578 × 217)
    floor (0.524494171142578 × 131072)
    floor (68746.5)     		ty = 68746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68254 / 68746 ti = "17/68254/68746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68254/68746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68254 ÷ 217
    68254 ÷ 131072     		x = 0.520736694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68746 ÷ 217
    68746 ÷ 131072     		y = 0.524490356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520736694335938 × 2 - 1) × π
    0.041473388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13029249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524490356445312 × 2 - 1) × π
    -0.048980712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.15387744778038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13029249} λ = 0.13029249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15387744778038))-π/2
    2×atan(0.857377088038418)-π/2
    2×0.708761283723076-π/2
    1.41752256744615-1.57079632675     		φ = -0.15327376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13029249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.465210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15327376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.781940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68254 KachelY 68746 0.13029249 -0.15327376 7.465210 -8.781940
    Oben rechts KachelX + 1 68255 KachelY 68746 0.13034043 -0.15327376 7.467957 -8.781940
    Unten links KachelX 68254 KachelY + 1 68747 0.13029249 -0.15332113 7.465210 -8.784654
    Unten rechts KachelX + 1 68255 KachelY + 1 68747 0.13034043 -0.15332113 7.467957 -8.784654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15327376--0.15332113) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dl = 301.794269999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15327376--0.15332113) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dr = 301.794269999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13029249-0.13034043) × cos(-0.15327376) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988276555654828 × 6371000     		do = 301.845098335504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13029249-0.13034043) × cos(-0.15332113) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988269322363246 × 6371000     		du = 301.84288910207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15327376)-sin(-0.15332113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988276555654828-0.988269322363246)×R²
    abs(0.13034043-0.13029249)×7.23329158225372e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.23329158225372e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.23329158225372e-06×40589641000000     		ar = 91094.7877552644m²