Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68251 / 69541
↖ ↑ ↗
← S 10.933102°
E  7.456970°		 ← 299.88 m → S 10.933102°
E  7.459717°		 →
↑
299.88 m
↓
↑
299.88 m
↓
S 10.935798°
E  7.456970°		 ← 299.88 m →
89 929 m²		 S 10.935798°
E  7.459717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520717620849609 y=0.530559539794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520717620849609 × 217)
    floor (0.520717620849609 × 131072)
    floor (68251.5)     		tx = 68251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530559539794922 × 217)
    floor (0.530559539794922 × 131072)
    floor (69541.5)     		ty = 69541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68251 / 69541 ti = "17/68251/69541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68251/69541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68251 ÷ 217
    68251 ÷ 131072     		x = 0.520713806152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69541 ÷ 217
    69541 ÷ 131072     		y = 0.530555725097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520713806152344 × 2 - 1) × π
    0.0414276123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13014868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530555725097656 × 2 - 1) × π
    -0.0611114501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.191987282978325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13014868} λ = 0.13014868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191987282978325))-π/2
    2×atan(0.825317364003753)-π/2
    2×0.689988852210236-π/2
    1.37997770442047-1.57079632675     		φ = -0.19081862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13014868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.456970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19081862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.933102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68251 KachelY 69541 0.13014868 -0.19081862 7.456970 -10.933102
    Oben rechts KachelX + 1 68252 KachelY 69541 0.13019662 -0.19081862 7.459717 -10.933102
    Unten links KachelX 68251 KachelY + 1 69542 0.13014868 -0.19086569 7.456970 -10.935798
    Unten rechts KachelX + 1 68252 KachelY + 1 69542 0.13019662 -0.19086569 7.459717 -10.935798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19081862--0.19086569) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dl = 299.882970000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19081862--0.19086569) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dr = 299.882970000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13014868-0.13019662) × cos(-0.19081862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.981849302426428 × 6371000     		do = 299.882049762226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13014868-0.13019662) × cos(-0.19086569) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.98184037391452 × 6371000     		du = 299.879322764869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19081862)-sin(-0.19086569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981849302426428-0.98184037391452)×R²
    abs(0.13019662-0.13014868)×8.92851190825716e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.92851190825716e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.92851190825716e-06×40589641000000     		ar = 89929.1108589915m²