Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68250 / 69307
↖ ↑ ↗
← S 10.301408°
E  7.454224°		 ← 300.44 m → S 10.301408°
E  7.456970°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.304110°
E  7.454224°		 ← 300.44 m →
90 269 m²		 S 10.304110°
E  7.456970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520709991455078 y=0.528774261474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520709991455078 × 217)
    floor (0.520709991455078 × 131072)
    floor (68250.5)     		tx = 68250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528774261474609 × 217)
    floor (0.528774261474609 × 131072)
    floor (69307.5)     		ty = 69307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68250 / 69307 ti = "17/68250/69307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68250/69307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68250 ÷ 217
    68250 ÷ 131072     		x = 0.520706176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69307 ÷ 217
    69307 ÷ 131072     		y = 0.528770446777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520706176757812 × 2 - 1) × π
    0.041412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13010075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528770446777344 × 2 - 1) × π
    -0.0575408935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.180770048467232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13010075} λ = 0.13010075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180770048467232))-π/2
    2×atan(0.834627260448723)-π/2
    2×0.695501419533679-π/2
    1.39100283906736-1.57079632675     		φ = -0.17979349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13010075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.454224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17979349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.301408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68250 KachelY 69307 0.13010075 -0.17979349 7.454224 -10.301408
    Oben rechts KachelX + 1 68251 KachelY 69307 0.13014868 -0.17979349 7.456970 -10.301408
    Unten links KachelX 68250 KachelY + 1 69308 0.13010075 -0.17984065 7.454224 -10.304110
    Unten rechts KachelX + 1 68251 KachelY + 1 69308 0.13014868 -0.17984065 7.456970 -10.304110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17979349--0.17984065) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dl = 300.45635999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17979349--0.17984065) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dr = 300.45635999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13010075-0.13014868) × cos(-0.17979349) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983880643206381 × 6371000     		do = 300.439790487216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13010075-0.13014868) × cos(-0.17984065) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983872208659439 × 6371000     		du = 300.43721489684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17979349)-sin(-0.17984065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983880643206381-0.983872208659439)×R²
    abs(0.13014868-0.13010075)×8.4345469419933e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.4345469419933e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.4345469419933e-06×40589641000000     		ar = 90268.6589394008m²