Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68250 / 68748
↖ ↑ ↗
← S  8.787368°
E  7.454224°		 ← 301.78 m → S  8.787368°
E  7.456970°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.790082°
E  7.454224°		 ← 301.78 m →
91 074 m²		 S  8.790082°
E  7.456970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520709991455078 y=0.524509429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520709991455078 × 217)
    floor (0.520709991455078 × 131072)
    floor (68250.5)     		tx = 68250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524509429931641 × 217)
    floor (0.524509429931641 × 131072)
    floor (68748.5)     		ty = 68748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68250 / 68748 ti = "17/68250/68748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68250/68748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68250 ÷ 217
    68250 ÷ 131072     		x = 0.520706176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68748 ÷ 217
    68748 ÷ 131072     		y = 0.524505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520706176757812 × 2 - 1) × π
    0.041412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13010075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.04901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.15397332157962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13010075} λ = 0.13010075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15397332157962))-π/2
    2×atan(0.857294891979893)-π/2
    2×0.708713909155819-π/2
    1.41742781831164-1.57079632675     		φ = -0.15336851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13010075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.454224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15336851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.787368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68250 KachelY 68748 0.13010075 -0.15336851 7.454224 -8.787368
    Oben rechts KachelX + 1 68251 KachelY 68748 0.13014868 -0.15336851 7.456970 -8.787368
    Unten links KachelX 68250 KachelY + 1 68749 0.13010075 -0.15341588 7.454224 -8.790082
    Unten rechts KachelX + 1 68251 KachelY + 1 68749 0.13014868 -0.15341588 7.456970 -8.790082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15336851--0.15341588) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dl = 301.794269999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15336851--0.15341588) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dr = 301.794269999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13010075-0.13014868) × cos(-0.15336851) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98826208532639 × 6371000     		do = 301.77771654731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13010075-0.13014868) × cos(-0.15341588) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988254847599167 × 6371000     		du = 301.775506420232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15336851)-sin(-0.15341588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98826208532639-0.988254847599167)×R²
    abs(0.13014868-0.13010075)×7.23772722266425e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.23772722266425e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.23772722266425e-06×40589641000000     		ar = 91074.4521828224m²