Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6825 / 1753
↖ ↑ ↗
← N 80.323813°
W 30.036621°		 ← 410.65 m → N 80.323813°
W 30.014648°		 →
↑
410.74 m
↓
↑
410.74 m
↓
N 80.320119°
W 30.036621°		 ← 410.81 m →
168 704 m²		 N 80.320119°
W 30.014648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416595458984375 y=0.107025146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416595458984375 × 214)
    floor (0.416595458984375 × 16384)
    floor (6825.5)     		tx = 6825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107025146484375 × 214)
    floor (0.107025146484375 × 16384)
    floor (1753.5)     		ty = 1753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6825 / 1753 ti = "14/6825/1753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6825/1753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6825 ÷ 214
    6825 ÷ 16384     		x = 0.41656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1753 ÷ 214
    1753 ÷ 16384     		y = 0.10699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41656494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1668701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52423793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10699462890625 × 2 - 1) × π
    0.7860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46932557322833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52423793} λ = -0.52423793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46932557322833))-π/2
    2×atan(11.8144761651073)-π/2
    2×1.48635566992618-π/2
    2.97271133985237-1.57079632675     		φ = 1.40191501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52423793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.036621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40191501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.323813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6825 KachelY 1753 -0.52423793 1.40191501 -30.036621 80.323813
    Oben rechts KachelX + 1 6826 KachelY 1753 -0.52385444 1.40191501 -30.014648 80.323813
    Unten links KachelX 6825 KachelY + 1 1754 -0.52423793 1.40185054 -30.036621 80.320119
    Unten rechts KachelX + 1 6826 KachelY + 1 1754 -0.52385444 1.40185054 -30.014648 80.320119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40191501-1.40185054) × R
    6.44699999998721e-05 × 6371000     		dl = 410.738369999185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40191501-1.40185054) × R
    6.44699999998721e-05 × 6371000     		dr = 410.738369999185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52423793--0.52385444) × cos(1.40191501) × R
    0.000383489999999931 × 0.168079686309222 × 6371000     		do = 410.654775489177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52423793--0.52385444) × cos(1.40185054) × R
    0.000383489999999931 × 0.168143238771723 × 6371000     		du = 410.810047805501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40191501)-sin(1.40185054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168079686309222-0.168143238771723)×R²
    abs(-0.52385444--0.52423793)×6.35524625011707e-05×R²
    0.000383489999999931×6.35524625011707e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.35524625011707e-05×40589641000000     		ar = 168703.56132364m²