Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68245 / 68389
↖ ↑ ↗
← S  7.811684°
E  7.440491°		 ← 302.59 m → S  7.811684°
E  7.443237°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
S  7.814405°
E  7.440491°		 ← 302.59 m →
91 551 m²		 S  7.814405°
E  7.443237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520671844482422 y=0.521770477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520671844482422 × 217)
    floor (0.520671844482422 × 131072)
    floor (68245.5)     		tx = 68245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521770477294922 × 217)
    floor (0.521770477294922 × 131072)
    floor (68389.5)     		ty = 68389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68245 / 68389 ti = "17/68245/68389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68245/68389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68245 ÷ 217
    68245 ÷ 131072     		x = 0.520668029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68389 ÷ 217
    68389 ÷ 131072     		y = 0.521766662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520668029785156 × 2 - 1) × π
    0.0413360595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12986106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521766662597656 × 2 - 1) × π
    -0.0435333251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.13676397461602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12986106} λ = 0.12986106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.13676397461602))-π/2
    2×atan(0.872176057529313)-π/2
    2×0.71722835848571-π/2
    1.43445671697142-1.57079632675     		φ = -0.13633961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12986106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.440491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13633961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.811684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68245 KachelY 68389 0.12986106 -0.13633961 7.440491 -7.811684
    Oben rechts KachelX + 1 68246 KachelY 68389 0.12990900 -0.13633961 7.443237 -7.811684
    Unten links KachelX 68245 KachelY + 1 68390 0.12986106 -0.13638710 7.440491 -7.814405
    Unten rechts KachelX + 1 68246 KachelY + 1 68390 0.12990900 -0.13638710 7.443237 -7.814405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13633961--0.13638710) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dl = 302.558790000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13633961--0.13638710) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dr = 302.558790000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12986106-0.12990900) × cos(-0.13633961) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990720143618633 × 6371000     		do = 302.591432997604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12986106-0.12990900) × cos(-0.13638710) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990713687774095 × 6371000     		du = 302.589461216509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13633961)-sin(-0.13638710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990720143618633-0.990713687774095)×R²
    abs(0.12990900-0.12986106)×6.45584453806691e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.45584453806691e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.45584453806691e-06×40589641000000     		ar = 91551.3995595456m²