Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68243 / 68490
↖ ↑ ↗
← S  8.086423°
E  7.434998°		 ← 302.33 m → S  8.086423°
E  7.437744°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
S  8.089142°
E  7.434998°		 ← 302.32 m →
91 413 m²		 S  8.089142°
E  7.437744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520656585693359 y=0.522541046142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520656585693359 × 217)
    floor (0.520656585693359 × 131072)
    floor (68243.5)     		tx = 68243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522541046142578 × 217)
    floor (0.522541046142578 × 131072)
    floor (68490.5)     		ty = 68490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68243 / 68490 ti = "17/68243/68490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68243/68490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68243 ÷ 217
    68243 ÷ 131072     		x = 0.520652770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68490 ÷ 217
    68490 ÷ 131072     		y = 0.522537231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520652770996094 × 2 - 1) × π
    0.0413055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12976519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522537231445312 × 2 - 1) × π
    -0.045074462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.141605601477646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12976519} λ = 0.12976519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.141605601477646))-π/2
    2×atan(0.867963512515635)-π/2
    2×0.714830808003582-π/2
    1.42966161600716-1.57079632675     		φ = -0.14113471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12976519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.434998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14113471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.086423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68243 KachelY 68490 0.12976519 -0.14113471 7.434998 -8.086423
    Oben rechts KachelX + 1 68244 KachelY 68490 0.12981312 -0.14113471 7.437744 -8.086423
    Unten links KachelX 68243 KachelY + 1 68491 0.12976519 -0.14118217 7.434998 -8.089142
    Unten rechts KachelX + 1 68244 KachelY + 1 68491 0.12981312 -0.14118217 7.437744 -8.089142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14113471--0.14118217) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14113471--0.14118217) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12976519-0.12981312) × cos(-0.14113471) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990057017794454 × 6371000     		do = 302.325820769471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12976519-0.12981312) × cos(-0.14118217) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990050340641047 × 6371000     		du = 302.323781820352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14113471)-sin(-0.14118217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990057017794454-0.990050340641047)×R²
    abs(0.12981312-0.12976519)×6.6771534065202e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.6771534065202e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.6771534065202e-06×40589641000000     		ar = 91413.2427446327m²