Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68242 / 68998
↖ ↑ ↗
← S  9.465317°
E  7.432251°		 ← 301.27 m → S  9.465317°
E  7.434998°		 →
↑
301.28 m
↓
↑
301.28 m
↓
S  9.468027°
E  7.432251°		 ← 301.27 m →
90 767 m²		 S  9.468027°
E  7.434998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520648956298828 y=0.526416778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520648956298828 × 217)
    floor (0.520648956298828 × 131072)
    floor (68242.5)     		tx = 68242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526416778564453 × 217)
    floor (0.526416778564453 × 131072)
    floor (68998.5)     		ty = 68998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68242 / 68998 ti = "17/68242/68998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68242/68998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68242 ÷ 217
    68242 ÷ 131072     		x = 0.520645141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68998 ÷ 217
    68998 ÷ 131072     		y = 0.526412963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520645141601562 × 2 - 1) × π
    0.041290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12971725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526412963867188 × 2 - 1) × π
    -0.052825927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.165957546484634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12971725} λ = 0.12971725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165957546484634))-π/2
    2×atan(0.847082195043045)-π/2
    2×0.702797687231613-π/2
    1.40559537446323-1.57079632675     		φ = -0.16520095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12971725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.432251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16520095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.465317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68242 KachelY 68998 0.12971725 -0.16520095 7.432251 -9.465317
    Oben rechts KachelX + 1 68243 KachelY 68998 0.12976519 -0.16520095 7.434998 -9.465317
    Unten links KachelX 68242 KachelY + 1 68999 0.12971725 -0.16524824 7.432251 -9.468027
    Unten rechts KachelX + 1 68243 KachelY + 1 68999 0.12976519 -0.16524824 7.434998 -9.468027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16520095--0.16524824) × R
    4.72899999999776e-05 × 6371000     		dl = 301.284589999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16520095--0.16524824) × R
    4.72899999999776e-05 × 6371000     		dr = 301.284589999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12971725-0.12976519) × cos(-0.16520095) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986385328924426 × 6371000     		do = 301.267469011863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12971725-0.12976519) × cos(-0.16524824) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986377550955044 × 6371000     		du = 301.265093419809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16520095)-sin(-0.16524824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986385328924426-0.986377550955044)×R²
    abs(0.12976519-0.12971725)×7.77796938133957e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.77796938133957e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.77796938133957e-06×40589641000000     		ar = 90766.8880338129m²