Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68231 / 68873
↖ ↑ ↗
← S  9.126504°
E  7.402038°		 ← 301.56 m → S  9.126504°
E  7.404785°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.129216°
E  7.402038°		 ← 301.56 m →
90 932 m²		 S  9.129216°
E  7.404785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520565032958984 y=0.525463104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520565032958984 × 217)
    floor (0.520565032958984 × 131072)
    floor (68231.5)     		tx = 68231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525463104248047 × 217)
    floor (0.525463104248047 × 131072)
    floor (68873.5)     		ty = 68873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68231 / 68873 ti = "17/68231/68873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68231/68873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68231 ÷ 217
    68231 ÷ 131072     		x = 0.520561218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68873 ÷ 217
    68873 ÷ 131072     		y = 0.525459289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520561218261719 × 2 - 1) × π
    0.0411224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12918994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525459289550781 × 2 - 1) × π
    -0.0509185791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.159965434032127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12918994} λ = 0.12918994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159965434032127))-π/2
    2×atan(0.852173244650123)-π/2
    2×0.705754392455934-π/2
    1.41150878491187-1.57079632675     		φ = -0.15928754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12918994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.402038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15928754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.126504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68231 KachelY 68873 0.12918994 -0.15928754 7.402038 -9.126504
    Oben rechts KachelX + 1 68232 KachelY 68873 0.12923788 -0.15928754 7.404785 -9.126504
    Unten links KachelX 68231 KachelY + 1 68874 0.12918994 -0.15933487 7.402038 -9.129216
    Unten rechts KachelX + 1 68232 KachelY + 1 68874 0.12923788 -0.15933487 7.404785 -9.129216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15928754--0.15933487) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dl = 301.5394299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15928754--0.15933487) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dr = 301.5394299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12918994-0.12923788) × cos(-0.15928754) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987340540657604 × 6371000     		do = 301.559215262326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12918994-0.12923788) × cos(-0.15933487) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98733303231294 × 6371000     		du = 301.5569220206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15928754)-sin(-0.15933487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987340540657604-0.98733303231294)×R²
    abs(0.12923788-0.12918994)×7.50834466389794e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.50834466389794e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.50834466389794e-06×40589641000000     		ar = 90931.6481469643m²