Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68230 / 68989
↖ ↑ ↗
← S  9.440934°
E  7.399292°		 ← 301.23 m → S  9.440934°
E  7.402038°		 →
↑
301.28 m
↓
↑
301.28 m
↓
S  9.443643°
E  7.399292°		 ← 301.22 m →
90 754 m²		 S  9.443643°
E  7.402038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520557403564453 y=0.526348114013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520557403564453 × 217)
    floor (0.520557403564453 × 131072)
    floor (68230.5)     		tx = 68230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526348114013672 × 217)
    floor (0.526348114013672 × 131072)
    floor (68989.5)     		ty = 68989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68230 / 68989 ti = "17/68230/68989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68230/68989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68230 ÷ 217
    68230 ÷ 131072     		x = 0.520553588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68989 ÷ 217
    68989 ÷ 131072     		y = 0.526344299316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520553588867188 × 2 - 1) × π
    0.041107177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12914201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526344299316406 × 2 - 1) × π
    -0.0526885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.165526114388054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12914201} λ = 0.12914201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165526114388054))-π/2
    2×atan(0.847447732337019)-π/2
    2×0.703010473918793-π/2
    1.40602094783759-1.57079632675     		φ = -0.16477538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12914201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.399292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16477538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.440934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68230 KachelY 68989 0.12914201 -0.16477538 7.399292 -9.440934
    Oben rechts KachelX + 1 68231 KachelY 68989 0.12918994 -0.16477538 7.402038 -9.440934
    Unten links KachelX 68230 KachelY + 1 68990 0.12914201 -0.16482267 7.399292 -9.443643
    Unten rechts KachelX + 1 68231 KachelY + 1 68990 0.12918994 -0.16482267 7.402038 -9.443643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16477538--0.16482267) × R
    4.72900000000054e-05 × 6371000     		dl = 301.284590000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16477538--0.16482267) × R
    4.72900000000054e-05 × 6371000     		dr = 301.284590000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12914201-0.12918994) × cos(-0.16477538) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986455224820178 × 6371000     		do = 301.225969955206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12914201-0.12918994) × cos(-0.16482267) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986447466702629 × 6371000     		du = 301.223600920682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16477538)-sin(-0.16482267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986455224820178-0.986447466702629)×R²
    abs(0.12918994-0.12914201)×7.75811754860634e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.75811754860634e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.75811754860634e-06×40589641000000     		ar = 90754.3859954042m²