Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68223 / 68478
↖ ↑ ↗
← S  8.053790°
E  7.380066°		 ← 302.41 m → S  8.053790°
E  7.382813°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
S  8.056510°
E  7.380066°		 ← 302.41 m →
91 459 m²		 S  8.056510°
E  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520503997802734 y=0.522449493408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520503997802734 × 217)
    floor (0.520503997802734 × 131072)
    floor (68223.5)     		tx = 68223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522449493408203 × 217)
    floor (0.522449493408203 × 131072)
    floor (68478.5)     		ty = 68478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68223 / 68478 ti = "17/68223/68478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68223/68478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68223 ÷ 217
    68223 ÷ 131072     		x = 0.520500183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68478 ÷ 217
    68478 ÷ 131072     		y = 0.522445678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520500183105469 × 2 - 1) × π
    0.0410003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12880645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522445678710938 × 2 - 1) × π
    -0.044891357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.141030358682205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12880645} λ = 0.12880645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.141030358682205))-π/2
    2×atan(0.868462945906873)-π/2
    2×0.715115581092839-π/2
    1.43023116218568-1.57079632675     		φ = -0.14056516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12880645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.380066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14056516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.053790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68223 KachelY 68478 0.12880645 -0.14056516 7.380066 -8.053790
    Oben rechts KachelX + 1 68224 KachelY 68478 0.12885439 -0.14056516 7.382813 -8.053790
    Unten links KachelX 68223 KachelY + 1 68479 0.12880645 -0.14061263 7.380066 -8.056510
    Unten rechts KachelX + 1 68224 KachelY + 1 68479 0.12885439 -0.14061263 7.382813 -8.056510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14056516--0.14061263) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dl = 302.431369999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14056516--0.14061263) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dr = 302.431369999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12880645-0.12885439) × cos(-0.14056516) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990136973889788 × 6371000     		do = 302.413317951801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12880645-0.12885439) × cos(-0.14061263) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990130322097952 × 6371000     		du = 302.411286323357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14056516)-sin(-0.14061263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990136973889788-0.990130322097952)×R²
    abs(0.12885439-0.12880645)×6.65179183656495e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.65179183656495e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.65179183656495e-06×40589641000000     		ar = 91458.9668574928m²