Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68222 / 69253
↖ ↑ ↗
← S 10.155449°
E  7.377319°		 ← 300.64 m → S 10.155449°
E  7.380066°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
S 10.158153°
E  7.377319°		 ← 300.64 m →
90 386 m²		 S 10.158153°
E  7.380066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520496368408203 y=0.528362274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520496368408203 × 217)
    floor (0.520496368408203 × 131072)
    floor (68222.5)     		tx = 68222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528362274169922 × 217)
    floor (0.528362274169922 × 131072)
    floor (69253.5)     		ty = 69253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68222 / 69253 ti = "17/68222/69253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68222/69253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68222 ÷ 217
    68222 ÷ 131072     		x = 0.520492553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69253 ÷ 217
    69253 ÷ 131072     		y = 0.528358459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520492553710938 × 2 - 1) × π
    0.040985107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12875851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528358459472656 × 2 - 1) × π
    -0.0567169189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.178181455887749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12875851} λ = 0.12875851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178181455887749))-π/2
    2×atan(0.836790569136169)-π/2
    2×0.69677514600986-π/2
    1.39355029201972-1.57079632675     		φ = -0.17724603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12875851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.377319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17724603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.155449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68222 KachelY 69253 0.12875851 -0.17724603 7.377319 -10.155449
    Oben rechts KachelX + 1 68223 KachelY 69253 0.12880645 -0.17724603 7.380066 -10.155449
    Unten links KachelX 68222 KachelY + 1 69254 0.12875851 -0.17729322 7.377319 -10.158153
    Unten rechts KachelX + 1 68223 KachelY + 1 69254 0.12880645 -0.17729322 7.380066 -10.158153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17724603--0.17729322) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17724603--0.17729322) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12875851-0.12880645) × cos(-0.17724603) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984333003333743 × 6371000     		do = 300.640635949608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12875851-0.12880645) × cos(-0.17729322) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984324681724222 × 6371000     		du = 300.638094315862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17724603)-sin(-0.17729322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984333003333743-0.984324681724222)×R²
    abs(0.12880645-0.12875851)×8.32160952124461e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.32160952124461e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.32160952124461e-06×40589641000000     		ar = 90386.4705391436m²