Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68221 / 69249
↖ ↑ ↗
← S 10.144635°
E  7.374573°		 ← 300.59 m → S 10.144635°
E  7.377319°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
S 10.147339°
E  7.374573°		 ← 300.59 m →
90 371 m²		 S 10.147339°
E  7.377319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520488739013672 y=0.528331756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520488739013672 × 217)
    floor (0.520488739013672 × 131072)
    floor (68221.5)     		tx = 68221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528331756591797 × 217)
    floor (0.528331756591797 × 131072)
    floor (69249.5)     		ty = 69249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68221 / 69249 ti = "17/68221/69249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68221/69249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68221 ÷ 217
    68221 ÷ 131072     		x = 0.520484924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69249 ÷ 217
    69249 ÷ 131072     		y = 0.528327941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520484924316406 × 2 - 1) × π
    0.0409698486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12871058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528327941894531 × 2 - 1) × π
    -0.0566558837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.177989708289268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12871058} λ = 0.12871058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177989708289268))-π/2
    2×atan(0.836951037102414)-π/2
    2×0.696869519349283-π/2
    1.39373903869857-1.57079632675     		φ = -0.17705729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12871058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.374573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17705729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.144635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68221 KachelY 69249 0.12871058 -0.17705729 7.374573 -10.144635
    Oben rechts KachelX + 1 68222 KachelY 69249 0.12875851 -0.17705729 7.377319 -10.144635
    Unten links KachelX 68221 KachelY + 1 69250 0.12871058 -0.17710448 7.374573 -10.147339
    Unten rechts KachelX + 1 68222 KachelY + 1 69250 0.12875851 -0.17710448 7.377319 -10.147339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17705729--0.17710448) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17705729--0.17710448) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12871058-0.12875851) × cos(-0.17705729) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984366264328897 × 6371000     		do = 300.588080738999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12871058-0.12875851) × cos(-0.17710448) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984357951486587 × 6371000     		du = 300.585542312596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17705729)-sin(-0.17710448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984366264328897-0.984357951486587)×R²
    abs(0.12875851-0.12871058)×8.3128423098433e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.3128423098433e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.3128423098433e-06×40589641000000     		ar = 90370.6704291013m²