Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68220 / 68476
↖ ↑ ↗
← S  8.048352°
E  7.371826°		 ← 302.42 m → S  8.048352°
E  7.374573°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
S  8.051071°
E  7.371826°		 ← 302.42 m →
91 441 m²		 S  8.051071°
E  7.374573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520481109619141 y=0.522434234619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520481109619141 × 217)
    floor (0.520481109619141 × 131072)
    floor (68220.5)     		tx = 68220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522434234619141 × 217)
    floor (0.522434234619141 × 131072)
    floor (68476.5)     		ty = 68476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68220 / 68476 ti = "17/68220/68476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68220/68476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68220 ÷ 217
    68220 ÷ 131072     		x = 0.520477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68476 ÷ 217
    68476 ÷ 131072     		y = 0.522430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520477294921875 × 2 - 1) × π
    0.04095458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12866264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.04486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.140934484882965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12866264} λ = 0.12866264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.140934484882965))-π/2
    2×atan(0.868546212740486)-π/2
    2×0.715163045508239-π/2
    1.43032609101648-1.57079632675     		φ = -0.14047024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12866264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.371826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14047024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.048352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68220 KachelY 68476 0.12866264 -0.14047024 7.371826 -8.048352
    Oben rechts KachelX + 1 68221 KachelY 68476 0.12871058 -0.14047024 7.374573 -8.048352
    Unten links KachelX 68220 KachelY + 1 68477 0.12866264 -0.14051770 7.371826 -8.051071
    Unten rechts KachelX + 1 68221 KachelY + 1 68477 0.12871058 -0.14051770 7.374573 -8.051071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14047024--0.14051770) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14047024--0.14051770) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12866264-0.12871058) × cos(-0.14047024) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990150267979746 × 6371000     		do = 302.417378308889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12866264-0.12871058) × cos(-0.14051770) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990143622049892 × 6371000     		du = 302.415348470845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14047024)-sin(-0.14051770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990150267979746-0.990143622049892)×R²
    abs(0.12871058-0.12866264)×6.64592985333279e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.64592985333279e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.64592985333279e-06×40589641000000     		ar = 91440.9281610754m²