Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6822 / 1590
↖ ↑ ↗
← N 80.907615°
W 30.102539°		 ← 386.10 m → N 80.907615°
W 30.080566°		 →
↑
386.15 m
↓
↑
386.15 m
↓
N 80.904143°
W 30.102539°		 ← 386.25 m →
149 121 m²		 N 80.904143°
W 30.080566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416412353515625 y=0.097076416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416412353515625 × 214)
    floor (0.416412353515625 × 16384)
    floor (6822.5)     		tx = 6822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.097076416015625 × 214)
    floor (0.097076416015625 × 16384)
    floor (1590.5)     		ty = 1590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6822 / 1590 ti = "14/6822/1590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6822/1590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6822 ÷ 214
    6822 ÷ 16384     		x = 0.4163818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1590 ÷ 214
    1590 ÷ 16384     		y = 0.0970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.167236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52538842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0970458984375 × 2 - 1) × π
    0.805908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53183529033289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52538842} λ = -0.52538842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53183529033289))-π/2
    2×atan(12.5765666199929)-π/2
    2×1.4914503055973-π/2
    2.98290061119459-1.57079632675     		φ = 1.41210428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52538842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.102539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41210428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.907615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6822 KachelY 1590 -0.52538842 1.41210428 -30.102539 80.907615
    Oben rechts KachelX + 1 6823 KachelY 1590 -0.52500492 1.41210428 -30.080566 80.907615
    Unten links KachelX 6822 KachelY + 1 1591 -0.52538842 1.41204367 -30.102539 80.904143
    Unten rechts KachelX + 1 6823 KachelY + 1 1591 -0.52500492 1.41204367 -30.080566 80.904143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41210428-1.41204367) × R
    6.06100000000165e-05 × 6371000     		dl = 386.146310000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41210428-1.41204367) × R
    6.06100000000165e-05 × 6371000     		dr = 386.146310000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52538842--0.52500492) × cos(1.41210428) × R
    0.000383499999999981 × 0.158026823616833 × 6371000     		do = 386.103540566281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52538842--0.52500492) × cos(1.41204367) × R
    0.000383499999999981 × 0.158086671750953 × 6371000     		du = 386.249766225641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41210428)-sin(1.41204367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158026823616833-0.158086671750953)×R²
    abs(-0.52500492--0.52538842)×5.98481341196611e-05×R²
    0.000383499999999981×5.98481341196611e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.98481341196611e-05×40589641000000     		ar = 149120.689762148m²