Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68219 / 72373
↖ ↑ ↗
← S 18.450952°
E  7.369079°		 ← 289.73 m → S 18.450952°
E  7.371826°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
S 18.453558°
E  7.369079°		 ← 289.72 m →
83 948 m²		 S 18.453558°
E  7.371826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520473480224609 y=0.552165985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520473480224609 × 217)
    floor (0.520473480224609 × 131072)
    floor (68219.5)     		tx = 68219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552165985107422 × 217)
    floor (0.552165985107422 × 131072)
    floor (72373.5)     		ty = 72373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68219 / 72373 ti = "17/68219/72373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68219/72373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68219 ÷ 217
    68219 ÷ 131072     		x = 0.520469665527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72373 ÷ 217
    72373 ÷ 131072     		y = 0.552162170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520469665527344 × 2 - 1) × π
    0.0409393310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12861470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552162170410156 × 2 - 1) × π
    -0.104324340820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.327744582702324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12861470} λ = 0.12861470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327744582702324))-π/2
    2×atan(0.720547036380661)-π/2
    2×0.624383231121521-π/2
    1.24876646224304-1.57079632675     		φ = -0.32202986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12861470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.369079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32202986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.450952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68219 KachelY 72373 0.12861470 -0.32202986 7.369079 -18.450952
    Oben rechts KachelX + 1 68220 KachelY 72373 0.12866264 -0.32202986 7.371826 -18.450952
    Unten links KachelX 68219 KachelY + 1 72374 0.12861470 -0.32207534 7.369079 -18.453558
    Unten rechts KachelX + 1 68220 KachelY + 1 72374 0.12866264 -0.32207534 7.371826 -18.453558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32202986--0.32207534) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dl = 289.753079999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32202986--0.32207534) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dr = 289.753079999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12861470-0.12866264) × cos(-0.32202986) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948594936860516 × 6371000     		do = 289.725310550854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12861470-0.12866264) × cos(-0.32207534) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94858054179028 × 6371000     		du = 289.720913925875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32202986)-sin(-0.32207534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948594936860516-0.94858054179028)×R²
    abs(0.12866264-0.12861470)×1.43950702357065e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43950702357065e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43950702357065e-05×40589641000000     		ar = 83948.1641326943m²