Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68219 / 68480
↖ ↑ ↗
← S  8.059230°
E  7.369079°		 ← 302.41 m → S  8.059230°
E  7.371826°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
S  8.061949°
E  7.369079°		 ← 302.41 m →
91 458 m²		 S  8.061949°
E  7.371826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520473480224609 y=0.522464752197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520473480224609 × 217)
    floor (0.520473480224609 × 131072)
    floor (68219.5)     		tx = 68219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522464752197266 × 217)
    floor (0.522464752197266 × 131072)
    floor (68480.5)     		ty = 68480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68219 / 68480 ti = "17/68219/68480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68219/68480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68219 ÷ 217
    68219 ÷ 131072     		x = 0.520469665527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68480 ÷ 217
    68480 ÷ 131072     		y = 0.5224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520469665527344 × 2 - 1) × π
    0.0409393310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12861470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.141126232481445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12861470} λ = 0.12861470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.141126232481445))-π/2
    2×atan(0.868379687055984)-π/2
    2×0.715068117314986-π/2
    1.43013623462997-1.57079632675     		φ = -0.14066009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12861470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.369079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14066009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.059230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68219 KachelY 68480 0.12861470 -0.14066009 7.369079 -8.059230
    Oben rechts KachelX + 1 68220 KachelY 68480 0.12866264 -0.14066009 7.371826 -8.059230
    Unten links KachelX 68219 KachelY + 1 68481 0.12861470 -0.14070756 7.369079 -8.061949
    Unten rechts KachelX + 1 68220 KachelY + 1 68481 0.12866264 -0.14070756 7.371826 -8.061949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14066009--0.14070756) × R
    4.74700000000217e-05 × 6371000     		dl = 302.431370000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14066009--0.14070756) × R
    4.74700000000217e-05 × 6371000     		dr = 302.431370000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12861470-0.12866264) × cos(-0.14066009) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990123669476922 × 6371000     		do = 302.409254441481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12861470-0.12866264) × cos(-0.14070756) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990117013223249 × 6371000     		du = 302.407221450277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14066009)-sin(-0.14070756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990123669476922-0.990117013223249)×R²
    abs(0.12866264-0.12861470)×6.65625367279876e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.65625367279876e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.65625367279876e-06×40589641000000     		ar = 91457.7377184725m²