Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68217 / 68904
↖ ↑ ↗
← S  9.210560°
E  7.363587°		 ← 301.42 m → S  9.210560°
E  7.366333°		 →
↑
301.48 m
↓
↑
301.48 m
↓
S  9.213271°
E  7.363587°		 ← 301.42 m →
90 872 m²		 S  9.213271°
E  7.366333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520458221435547 y=0.525699615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520458221435547 × 217)
    floor (0.520458221435547 × 131072)
    floor (68217.5)     		tx = 68217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525699615478516 × 217)
    floor (0.525699615478516 × 131072)
    floor (68904.5)     		ty = 68904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68217 / 68904 ti = "17/68217/68904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68217/68904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68217 ÷ 217
    68217 ÷ 131072     		x = 0.520454406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68904 ÷ 217
    68904 ÷ 131072     		y = 0.52569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520454406738281 × 2 - 1) × π
    0.0409088134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12851883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.0513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.161451477920349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12851883} λ = 0.12851883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161451477920349))-π/2
    2×atan(0.850907818280638)-π/2
    2×0.705020863484235-π/2
    1.41004172696847-1.57079632675     		φ = -0.16075460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12851883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.363587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16075460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.210560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68217 KachelY 68904 0.12851883 -0.16075460 7.363587 -9.210560
    Oben rechts KachelX + 1 68218 KachelY 68904 0.12856676 -0.16075460 7.366333 -9.210560
    Unten links KachelX 68217 KachelY + 1 68905 0.12851883 -0.16080192 7.363587 -9.213271
    Unten rechts KachelX + 1 68218 KachelY + 1 68905 0.12856676 -0.16080192 7.366333 -9.213271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16075460--0.16080192) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dl = 301.475719999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16075460--0.16080192) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dr = 301.475719999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12851883-0.12856676) × cos(-0.16075460) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987106780794286 × 6371000     		do = 301.424930410118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12851883-0.12856676) × cos(-0.16080192) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987099205502158 × 6371000     		du = 301.422617203536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16075460)-sin(-0.16080192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987106780794286-0.987099205502158)×R²
    abs(0.12856676-0.12851883)×7.57529212846997e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.57529212846997e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.57529212846997e-06×40589641000000     		ar = 90871.9492504731m²