Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68217 / 68791
↖ ↑ ↗
← S  8.904067°
E  7.363587°		 ← 301.68 m → S  8.904067°
E  7.366333°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.906780°
E  7.363587°		 ← 301.68 m →
91 026 m²		 S  8.906780°
E  7.366333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520458221435547 y=0.524837493896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520458221435547 × 217)
    floor (0.520458221435547 × 131072)
    floor (68217.5)     		tx = 68217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524837493896484 × 217)
    floor (0.524837493896484 × 131072)
    floor (68791.5)     		ty = 68791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68217 / 68791 ti = "17/68217/68791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68217/68791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68217 ÷ 217
    68217 ÷ 131072     		x = 0.520454406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68791 ÷ 217
    68791 ÷ 131072     		y = 0.524833679199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520454406738281 × 2 - 1) × π
    0.0409088134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12851883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524833679199219 × 2 - 1) × π
    -0.0496673583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.156034608263283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12851883} λ = 0.12851883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156034608263283))-π/2
    2×atan(0.855529581465663)-π/2
    2×0.707695524473991-π/2
    1.41539104894798-1.57079632675     		φ = -0.15540528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12851883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.363587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15540528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.904067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68217 KachelY 68791 0.12851883 -0.15540528 7.363587 -8.904067
    Oben rechts KachelX + 1 68218 KachelY 68791 0.12856676 -0.15540528 7.366333 -8.904067
    Unten links KachelX 68217 KachelY + 1 68792 0.12851883 -0.15545264 7.363587 -8.906780
    Unten rechts KachelX + 1 68218 KachelY + 1 68792 0.12856676 -0.15545264 7.366333 -8.906780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15540528--0.15545264) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15540528--0.15545264) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12851883-0.12856676) × cos(-0.15540528) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987948882467938 × 6371000     		do = 301.682076286651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12851883-0.12856676) × cos(-0.15545264) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987941550955116 × 6371000     		du = 301.679837521013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15540528)-sin(-0.15545264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987948882467938-0.987941550955116)×R²
    abs(0.12856676-0.12851883)×7.33151282172884e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.33151282172884e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.33151282172884e-06×40589641000000     		ar = 91026.3640849445m²