Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68216 / 68856
↖ ↑ ↗
← S  9.080400°
E  7.360840°		 ← 301.60 m → S  9.080400°
E  7.363587°		 →
↑
301.60 m
↓
↑
301.60 m
↓
S  9.083113°
E  7.360840°		 ← 301.60 m →
90 963 m²		 S  9.083113°
E  7.363587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520450592041016 y=0.525333404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520450592041016 × 217)
    floor (0.520450592041016 × 131072)
    floor (68216.5)     		tx = 68216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525333404541016 × 217)
    floor (0.525333404541016 × 131072)
    floor (68856.5)     		ty = 68856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68216 / 68856 ti = "17/68216/68856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68216/68856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68216 ÷ 217
    68216 ÷ 131072     		x = 0.52044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68856 ÷ 217
    68856 ÷ 131072     		y = 0.52532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52044677734375 × 2 - 1) × π
    0.0408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12847089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.159150506738586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12847089} λ = 0.12847089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159150506738586))-π/2
    2×atan(0.852867986929788)-π/2
    2×0.706156723791721-π/2
    1.41231344758344-1.57079632675     		φ = -0.15848288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12847089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.360840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15848288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.080400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68216 KachelY 68856 0.12847089 -0.15848288 7.360840 -9.080400
    Oben rechts KachelX + 1 68217 KachelY 68856 0.12851883 -0.15848288 7.363587 -9.080400
    Unten links KachelX 68216 KachelY + 1 68857 0.12847089 -0.15853022 7.360840 -9.083113
    Unten rechts KachelX + 1 68217 KachelY + 1 68857 0.12851883 -0.15853022 7.363587 -9.083113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15848288--0.15853022) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dl = 301.603140000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15848288--0.15853022) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dr = 301.603140000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12847089-0.12851883) × cos(-0.15848288) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987467851993377 × 6371000     		do = 301.598099421265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12847089-0.12851883) × cos(-0.15853022) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987460379674755 × 6371000     		du = 301.59581718282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15848288)-sin(-0.15853022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987467851993377-0.987460379674755)×R²
    abs(0.12851883-0.12847089)×7.4723186224146e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.4723186224146e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.4723186224146e-06×40589641000000     		ar = 90962.5896553193m²