Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68213 / 69546
↖ ↑ ↗
← S 10.946585°
E  7.352600°		 ← 299.87 m → S 10.946585°
E  7.355347°		 →
↑
299.88 m
↓
↑
299.88 m
↓
S 10.949282°
E  7.352600°		 ← 299.87 m →
89 925 m²		 S 10.949282°
E  7.355347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520427703857422 y=0.530597686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520427703857422 × 217)
    floor (0.520427703857422 × 131072)
    floor (68213.5)     		tx = 68213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530597686767578 × 217)
    floor (0.530597686767578 × 131072)
    floor (69546.5)     		ty = 69546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68213 / 69546 ti = "17/68213/69546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68213/69546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68213 ÷ 217
    68213 ÷ 131072     		x = 0.520423889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69546 ÷ 217
    69546 ÷ 131072     		y = 0.530593872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520423889160156 × 2 - 1) × π
    0.0408477783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12832708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530593872070312 × 2 - 1) × π
    -0.061187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.192226967476425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12832708} λ = 0.12832708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192226967476425))-π/2
    2×atan(0.825119571930382)-π/2
    2×0.689871187857229-π/2
    1.37974237571446-1.57079632675     		φ = -0.19105395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12832708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.352600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19105395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.946585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68213 KachelY 69546 0.12832708 -0.19105395 7.352600 -10.946585
    Oben rechts KachelX + 1 68214 KachelY 69546 0.12837502 -0.19105395 7.355347 -10.946585
    Unten links KachelX 68213 KachelY + 1 69547 0.12832708 -0.19110102 7.352600 -10.949282
    Unten rechts KachelX + 1 68214 KachelY + 1 69547 0.12837502 -0.19110102 7.355347 -10.949282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19105395--0.19110102) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dl = 299.882970000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19105395--0.19110102) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dr = 299.882970000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12832708-0.12837502) × cos(-0.19105395) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981804641911453 × 6371000     		do = 299.868409291218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12832708-0.12837502) × cos(-0.19110102) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981795702523913 × 6371000     		du = 299.865678972163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19105395)-sin(-0.19110102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981804641911453-0.981795702523913)×R²
    abs(0.12837502-0.12832708)×8.9393875395416e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.9393875395416e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.9393875395416e-06×40589641000000     		ar = 89925.0198159694m²