Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68212 / 68912
↖ ↑ ↗
← S  9.232249°
E  7.349853°		 ← 301.47 m → S  9.232249°
E  7.352600°		 →
↑
301.41 m
↓
↑
301.41 m
↓
S  9.234960°
E  7.349853°		 ← 301.47 m →
90 866 m²		 S  9.234960°
E  7.352600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520420074462891 y=0.525760650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520420074462891 × 217)
    floor (0.520420074462891 × 131072)
    floor (68212.5)     		tx = 68212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525760650634766 × 217)
    floor (0.525760650634766 × 131072)
    floor (68912.5)     		ty = 68912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68212 / 68912 ti = "17/68212/68912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68212/68912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68212 ÷ 217
    68212 ÷ 131072     		x = 0.520416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68912 ÷ 217
    68912 ÷ 131072     		y = 0.5257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520416259765625 × 2 - 1) × π
    0.04083251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12827914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.051513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.16183497311731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12827914} λ = 0.12827914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.16183497311731))-π/2
    2×atan(0.85058156178217)-π/2
    2×0.704831593943156-π/2
    1.40966318788631-1.57079632675     		φ = -0.16113314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12827914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.349853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16113314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.232249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68212 KachelY 68912 0.12827914 -0.16113314 7.349853 -9.232249
    Oben rechts KachelX + 1 68213 KachelY 68912 0.12832708 -0.16113314 7.352600 -9.232249
    Unten links KachelX 68212 KachelY + 1 68913 0.12827914 -0.16118045 7.349853 -9.234960
    Unten rechts KachelX + 1 68213 KachelY + 1 68913 0.12832708 -0.16118045 7.352600 -9.234960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16113314--0.16118045) × R
    4.73099999999949e-05 × 6371000     		dl = 301.412009999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16113314--0.16118045) × R
    4.73099999999949e-05 × 6371000     		dr = 301.412009999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12827914-0.12832708) × cos(-0.16113314) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98704611977868 × 6371000     		do = 301.469291547509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12827914-0.12832708) × cos(-0.16118045) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987038528410434 × 6371000     		du = 301.466972948245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16113314)-sin(-0.16118045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98704611977868-0.987038528410434)×R²
    abs(0.12832708-0.12827914)×7.59136824557416e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.59136824557416e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.59136824557416e-06×40589641000000     		ar = 90866.1157087213m²