Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68211 / 68922
↖ ↑ ↗
← S  9.259358°
E  7.347107°		 ← 301.38 m → S  9.259358°
E  7.349853°		 →
↑
301.41 m
↓
↑
301.41 m
↓
S  9.262068°
E  7.347107°		 ← 301.38 m →
90 840 m²		 S  9.262068°
E  7.349853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520412445068359 y=0.525836944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520412445068359 × 217)
    floor (0.520412445068359 × 131072)
    floor (68211.5)     		tx = 68211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525836944580078 × 217)
    floor (0.525836944580078 × 131072)
    floor (68922.5)     		ty = 68922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68211 / 68922 ti = "17/68211/68922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68211/68922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68211 ÷ 217
    68211 ÷ 131072     		x = 0.520408630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68922 ÷ 217
    68922 ÷ 131072     		y = 0.525833129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520408630371094 × 2 - 1) × π
    0.0408172607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12823121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525833129882812 × 2 - 1) × π
    -0.051666259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.16231434211351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12823121} λ = 0.12823121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.16231434211351))-π/2
    2×atan(0.850173917066637)-π/2
    2×0.70459502339537-π/2
    1.40919004679074-1.57079632675     		φ = -0.16160628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12823121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.347107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16160628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.259358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68211 KachelY 68922 0.12823121 -0.16160628 7.347107 -9.259358
    Oben rechts KachelX + 1 68212 KachelY 68922 0.12827914 -0.16160628 7.349853 -9.259358
    Unten links KachelX 68211 KachelY + 1 68923 0.12823121 -0.16165359 7.347107 -9.262068
    Unten rechts KachelX + 1 68212 KachelY + 1 68923 0.12827914 -0.16165359 7.349853 -9.262068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16160628--0.16165359) × R
    4.73100000000226e-05 × 6371000     		dl = 301.412010000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16160628--0.16165359) × R
    4.73100000000226e-05 × 6371000     		dr = 301.412010000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12823121-0.12827914) × cos(-0.16160628) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986970100246978 × 6371000     		do = 301.383193360731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12823121-0.12827914) × cos(-0.16165359) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986962486785377 × 6371000     		du = 301.380868498641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16160628)-sin(-0.16165359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986970100246978-0.986962486785377)×R²
    abs(0.12827914-0.12823121)×7.6134616006085e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.6134616006085e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.6134616006085e-06×40589641000000     		ar = 90840.163737389m²