Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6821 / 1903
↖ ↑ ↗
← N 79.753841°
W 30.124512°		 ← 434.60 m → N 79.753841°
W 30.102539°		 →
↑
434.69 m
↓
↑
434.69 m
↓
N 79.749932°
W 30.124512°		 ← 434.77 m →
188 955 m²		 N 79.749932°
W 30.102539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416351318359375 y=0.116180419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416351318359375 × 214)
    floor (0.416351318359375 × 16384)
    floor (6821.5)     		tx = 6821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116180419921875 × 214)
    floor (0.116180419921875 × 16384)
    floor (1903.5)     		ty = 1903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6821 / 1903 ti = "14/6821/1903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6821/1903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6821 ÷ 214
    6821 ÷ 16384     		x = 0.41632080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1903 ÷ 214
    1903 ÷ 16384     		y = 0.11614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1673583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52577192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11614990234375 × 2 - 1) × π
    0.7677001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41180129368426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52577192} λ = -0.52577192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41180129368426))-π/2
    2×atan(11.1540347527605)-π/2
    2×1.48138172390132-π/2
    2.96276344780263-1.57079632675     		φ = 1.39196712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52577192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.124512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39196712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.753841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6821 KachelY 1903 -0.52577192 1.39196712 -30.124512 79.753841
    Oben rechts KachelX + 1 6822 KachelY 1903 -0.52538842 1.39196712 -30.102539 79.753841
    Unten links KachelX 6821 KachelY + 1 1904 -0.52577192 1.39189889 -30.124512 79.749932
    Unten rechts KachelX + 1 6822 KachelY + 1 1904 -0.52538842 1.39189889 -30.102539 79.749932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39196712-1.39189889) × R
    6.82299999998914e-05 × 6371000     		dl = 434.693329999308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39196712-1.39189889) × R
    6.82299999998914e-05 × 6371000     		dr = 434.693329999308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52577192--0.52538842) × cos(1.39196712) × R
    0.000383499999999981 × 0.177877573475599 × 6371000     		do = 434.60445090508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52577192--0.52538842) × cos(1.39189889) × R
    0.000383499999999981 × 0.177944714972114 × 6371000     		du = 434.768496279973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39196712)-sin(1.39189889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177877573475599-0.177944714972114)×R²
    abs(-0.52538842--0.52577192)×6.7141496514822e-05×R²
    0.000383499999999981×6.7141496514822e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.7141496514822e-05×40589641000000     		ar = 188955.3107862m²