Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68209 / 68785
↖ ↑ ↗
← S  8.887785°
E  7.341614°		 ← 301.76 m → S  8.887785°
E  7.344360°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.890499°
E  7.341614°		 ← 301.76 m →
91 049 m²		 S  8.890499°
E  7.344360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520397186279297 y=0.524791717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520397186279297 × 217)
    floor (0.520397186279297 × 131072)
    floor (68209.5)     		tx = 68209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524791717529297 × 217)
    floor (0.524791717529297 × 131072)
    floor (68785.5)     		ty = 68785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68209 / 68785 ti = "17/68209/68785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68209/68785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68209 ÷ 217
    68209 ÷ 131072     		x = 0.520393371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68785 ÷ 217
    68785 ÷ 131072     		y = 0.524787902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520393371582031 × 2 - 1) × π
    0.0407867431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12813533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524787902832031 × 2 - 1) × π
    -0.0495758056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.155746986865562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12813533} λ = 0.12813533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155746986865562))-π/2
    2×atan(0.855775685470368)-π/2
    2×0.707837605253919-π/2
    1.41567521050784-1.57079632675     		φ = -0.15512112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12813533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.341614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15512112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.887785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68209 KachelY 68785 0.12813533 -0.15512112 7.341614 -8.887785
    Oben rechts KachelX + 1 68210 KachelY 68785 0.12818327 -0.15512112 7.344360 -8.887785
    Unten links KachelX 68209 KachelY + 1 68786 0.12813533 -0.15516848 7.341614 -8.890499
    Unten rechts KachelX + 1 68210 KachelY + 1 68786 0.12818327 -0.15516848 7.344360 -8.890499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15512112--0.15516848) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15512112--0.15516848) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12813533-0.12818327) × cos(-0.15512112) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987992825009568 × 6371000     		do = 301.758439693215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12813533-0.12818327) × cos(-0.15516848) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987985506792629 × 6371000     		du = 301.75620452139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15512112)-sin(-0.15516848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987992825009568-0.987985506792629)×R²
    abs(0.12818327-0.12813533)×7.31821693944479e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.31821693944479e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.31821693944479e-06×40589641000000     		ar = 91049.4058005377m²