Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68206 / 68466
↖ ↑ ↗
← S  8.021155°
E  7.333374°		 ← 302.44 m → S  8.021155°
E  7.336121°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
S  8.023875°
E  7.333374°		 ← 302.44 m →
91 466 m²		 S  8.023875°
E  7.336121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520374298095703 y=0.522357940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520374298095703 × 217)
    floor (0.520374298095703 × 131072)
    floor (68206.5)     		tx = 68206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522357940673828 × 217)
    floor (0.522357940673828 × 131072)
    floor (68466.5)     		ty = 68466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68206 / 68466 ti = "17/68206/68466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68206/68466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68206 ÷ 217
    68206 ÷ 131072     		x = 0.520370483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68466 ÷ 217
    68466 ÷ 131072     		y = 0.522354125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520370483398438 × 2 - 1) × π
    0.040740966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12799152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522354125976562 × 2 - 1) × π
    -0.044708251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.140455115886765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12799152} λ = 0.12799152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.140455115886765))-π/2
    2×atan(0.868962666676219)-π/2
    2×0.715400377133761-π/2
    1.43080075426752-1.57079632675     		φ = -0.13999557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12799152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.333374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13999557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.021155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68206 KachelY 68466 0.12799152 -0.13999557 7.333374 -8.021155
    Oben rechts KachelX + 1 68207 KachelY 68466 0.12803946 -0.13999557 7.336121 -8.021155
    Unten links KachelX 68206 KachelY + 1 68467 0.12799152 -0.14004304 7.333374 -8.023875
    Unten rechts KachelX + 1 68207 KachelY + 1 68467 0.12803946 -0.14004304 7.336121 -8.023875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13999557--0.14004304) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dl = 302.431369999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13999557--0.14004304) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dr = 302.431369999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12799152-0.12803946) × cos(-0.13999557) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990216614378919 × 6371000     		do = 302.437642206953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12799152-0.12803946) × cos(-0.14004304) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990209989359826 × 6371000     		du = 302.435618755594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13999557)-sin(-0.14004304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990216614378919-0.990209989359826)×R²
    abs(0.12803946-0.12799152)×6.62501909254321e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.62501909254321e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.62501909254321e-06×40589641000000     		ar = 91466.3245117881m²