Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68204 / 68651
↖ ↑ ↗
← S  8.523984°
E  7.327881°		 ← 302.05 m → S  8.523984°
E  7.330628°		 →
↑
302.05 m
↓
↑
302.05 m
↓
S  8.526701°
E  7.327881°		 ← 302.05 m →
91 234 m²		 S  8.526701°
E  7.330628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520359039306641 y=0.523769378662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520359039306641 × 217)
    floor (0.520359039306641 × 131072)
    floor (68204.5)     		tx = 68204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523769378662109 × 217)
    floor (0.523769378662109 × 131072)
    floor (68651.5)     		ty = 68651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68204 / 68651 ti = "17/68204/68651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68204/68651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68204 ÷ 217
    68204 ÷ 131072     		x = 0.520355224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68651 ÷ 217
    68651 ÷ 131072     		y = 0.523765563964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520355224609375 × 2 - 1) × π
    0.04071044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12789565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523765563964844 × 2 - 1) × π
    -0.0475311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.149323442316475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12789565} λ = 0.12789565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.149323442316475))-π/2
    2×atan(0.861290492050271)-π/2
    2×0.711012367015239-π/2
    1.42202473403048-1.57079632675     		φ = -0.14877159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12789565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.327881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14877159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.523984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68204 KachelY 68651 0.12789565 -0.14877159 7.327881 -8.523984
    Oben rechts KachelX + 1 68205 KachelY 68651 0.12794359 -0.14877159 7.330628 -8.523984
    Unten links KachelX 68204 KachelY + 1 68652 0.12789565 -0.14881900 7.327881 -8.526701
    Unten rechts KachelX + 1 68205 KachelY + 1 68652 0.12794359 -0.14881900 7.330628 -8.526701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14877159--0.14881900) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dl = 302.049109999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14877159--0.14881900) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dr = 302.049109999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12789565-0.12794359) × cos(-0.14877159) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988953903162888 × 6371000     		do = 302.05197769939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12789565-0.12794359) × cos(-0.14881900) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988946874779879 × 6371000     		du = 302.049831050309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14877159)-sin(-0.14881900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988953903162888-0.988946874779879)×R²
    abs(0.12794359-0.12789565)×7.02838300892239e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.02838300892239e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.02838300892239e-06×40589641000000     		ar = 91234.2068582263m²