Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68203 / 69161
↖ ↑ ↗
← S  9.906627°
E  7.325134°		 ← 300.87 m → S  9.906627°
E  7.327881°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.909333°
E  7.325134°		 ← 300.87 m →
90 513 m²		 S  9.909333°
E  7.327881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520351409912109 y=0.527660369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520351409912109 × 217)
    floor (0.520351409912109 × 131072)
    floor (68203.5)     		tx = 68203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527660369873047 × 217)
    floor (0.527660369873047 × 131072)
    floor (69161.5)     		ty = 69161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68203 / 69161 ti = "17/68203/69161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68203/69161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68203 ÷ 217
    68203 ÷ 131072     		x = 0.520347595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69161 ÷ 217
    69161 ÷ 131072     		y = 0.527656555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520347595214844 × 2 - 1) × π
    0.0406951904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12784771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527656555175781 × 2 - 1) × π
    -0.0553131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.173771261122704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12784771} λ = 0.12784771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173771261122704))-π/2
    2×atan(0.84048912821186)-π/2
    2×0.698946533445141-π/2
    1.39789306689028-1.57079632675     		φ = -0.17290326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12784771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.325134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17290326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.906627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68203 KachelY 69161 0.12784771 -0.17290326 7.325134 -9.906627
    Oben rechts KachelX + 1 68204 KachelY 69161 0.12789565 -0.17290326 7.327881 -9.906627
    Unten links KachelX 68203 KachelY + 1 69162 0.12784771 -0.17295048 7.325134 -9.909333
    Unten rechts KachelX + 1 68204 KachelY + 1 69162 0.12789565 -0.17295048 7.327881 -9.909333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17290326--0.17295048) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dl = 300.838619999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17290326--0.17295048) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dr = 300.838619999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12784771-0.12789565) × cos(-0.17290326) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985089433548845 × 6371000     		do = 300.871669207814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12784771-0.12789565) × cos(-0.17295048) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985081308578218 × 6371000     		du = 300.869187632647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17290326)-sin(-0.17295048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985089433548845-0.985081308578218)×R²
    abs(0.12789565-0.12784771)×8.12497062752104e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.12497062752104e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.12497062752104e-06×40589641000000     		ar = 90513.4445015244m²