Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68201 / 69223
↖ ↑ ↗
← S 10.074333°
E  7.319641°		 ← 300.65 m → S 10.074333°
E  7.322387°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
S 10.077037°
E  7.319641°		 ← 300.65 m →
90 410 m²		 S 10.077037°
E  7.322387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520336151123047 y=0.528133392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520336151123047 × 217)
    floor (0.520336151123047 × 131072)
    floor (68201.5)     		tx = 68201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528133392333984 × 217)
    floor (0.528133392333984 × 131072)
    floor (69223.5)     		ty = 69223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68201 / 69223 ti = "17/68201/69223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68201/69223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68201 ÷ 217
    68201 ÷ 131072     		x = 0.520332336425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69223 ÷ 217
    69223 ÷ 131072     		y = 0.528129577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520332336425781 × 2 - 1) × π
    0.0406646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12775184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528129577636719 × 2 - 1) × π
    -0.0562591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.176743348899147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12775184} λ = 0.12775184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176743348899147))-π/2
    2×atan(0.837994829221513)-π/2
    2×0.697483023601551-π/2
    1.3949660472031-1.57079632675     		φ = -0.17583028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12775184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.319641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17583028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.074333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68201 KachelY 69223 0.12775184 -0.17583028 7.319641 -10.074333
    Oben rechts KachelX + 1 68202 KachelY 69223 0.12779977 -0.17583028 7.322387 -10.074333
    Unten links KachelX 68201 KachelY + 1 69224 0.12775184 -0.17587748 7.319641 -10.077037
    Unten rechts KachelX + 1 68202 KachelY + 1 69224 0.12779977 -0.17587748 7.322387 -10.077037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17583028--0.17587748) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17583028--0.17587748) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12775184-0.12779977) × cos(-0.17583028) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984581640999135 × 6371000     		do = 300.653848596237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12775184-0.12779977) × cos(-0.17587748) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984573383410475 × 6371000     		du = 300.651327042201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17583028)-sin(-0.17587748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984581640999135-0.984573383410475)×R²
    abs(0.12779977-0.12775184)×8.25758866063175e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.25758866063175e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.25758866063175e-06×40589641000000     		ar = 90409.6004830421m²