Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6820 / 8100
↖ ↑ ↗
← N 79.265870°
W142.536621°		 ← 113.76 m → N 79.265870°
W142.531128°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
N 79.264847°
W142.536621°		 ← 113.77 m →
12 945 m²		 N 79.264847°
W142.531128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104072570800781 y=0.123603820800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104072570800781 × 216)
    floor (0.104072570800781 × 65536)
    floor (6820.5)     		tx = 6820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123603820800781 × 216)
    floor (0.123603820800781 × 65536)
    floor (8100.5)     		ty = 8100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6820 / 8100 ti = "16/6820/8100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6820/8100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6820 ÷ 216
    6820 ÷ 65536     		x = 0.10406494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8100 ÷ 216
    8100 ÷ 65536     		y = 0.12359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10406494140625 × 2 - 1) × π
    -0.7918701171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.48773334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12359619140625 × 2 - 1) × π
    0.7528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36501487965509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48773334} λ = -2.48773334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36501487965509))-π/2
    2×atan(10.6441971983147)-π/2
    2×1.47712337102378-π/2
    2.95424674204756-1.57079632675     		φ = 1.38345042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48773334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.536621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38345042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.265870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6820 KachelY 8100 -2.48773334 1.38345042 -142.536621 79.265870
    Oben rechts KachelX + 1 6821 KachelY 8100 -2.48763747 1.38345042 -142.531128 79.265870
    Unten links KachelX 6820 KachelY + 1 8101 -2.48773334 1.38343256 -142.536621 79.264847
    Unten rechts KachelX + 1 6821 KachelY + 1 8101 -2.48763747 1.38343256 -142.531128 79.264847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38345042-1.38343256) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38345042-1.38343256) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48773334--2.48763747) × cos(1.38345042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186251902088078 × 6371000     		do = 113.760383934633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48773334--2.48763747) × cos(1.38343256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186269449544537 × 6371000     		du = 113.771101706433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38345042)-sin(1.38343256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186251902088078-0.186269449544537)×R²
    abs(-2.48763747--2.48773334)×1.75474564588496e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75474564588496e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75474564588496e-05×40589641000000     		ar = 12944.9556388036m²