Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6820 / 1717
↖ ↑ ↗
← N 80.455866°
W 30.146484°		 ← 405.10 m → N 80.455866°
W 30.124512°		 →
↑
405.20 m
↓
↑
405.20 m
↓
N 80.452222°
W 30.146484°		 ← 405.26 m →
164 177 m²		 N 80.452222°
W 30.124512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416290283203125 y=0.104827880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416290283203125 × 214)
    floor (0.416290283203125 × 16384)
    floor (6820.5)     		tx = 6820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104827880859375 × 214)
    floor (0.104827880859375 × 16384)
    floor (1717.5)     		ty = 1717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6820 / 1717 ti = "14/6820/1717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6820/1717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6820 ÷ 214
    6820 ÷ 16384     		x = 0.416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1717 ÷ 214
    1717 ÷ 16384     		y = 0.10479736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10479736328125 × 2 - 1) × π
    0.7904052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48313140031891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52615541} λ = -0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48313140031891))-π/2
    2×atan(11.9787159042505)-π/2
    2×1.48750804902743-π/2
    2.97501609805486-1.57079632675     		φ = 1.40421977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40421977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.455866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6820 KachelY 1717 -0.52615541 1.40421977 -30.146484 80.455866
    Oben rechts KachelX + 1 6821 KachelY 1717 -0.52577192 1.40421977 -30.124512 80.455866
    Unten links KachelX 6820 KachelY + 1 1718 -0.52615541 1.40415617 -30.146484 80.452222
    Unten rechts KachelX + 1 6821 KachelY + 1 1718 -0.52577192 1.40415617 -30.124512 80.452222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40421977-1.40415617) × R
    6.36000000000525e-05 × 6371000     		dl = 405.195600000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40421977-1.40415617) × R
    6.36000000000525e-05 × 6371000     		dr = 405.195600000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52615541--0.52577192) × cos(1.40421977) × R
    0.000383490000000042 × 0.165807270779871 × 6371000     		do = 405.102776258961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52615541--0.52577192) × cos(1.40415617) × R
    0.000383490000000042 × 0.165869990104509 × 6371000     		du = 405.256013040534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40421977)-sin(1.40415617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165807270779871-0.165869990104509)×R²
    abs(-0.52577192--0.52615541)×6.27193246373614e-05×R²
    0.000383490000000042×6.27193246373614e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.27193246373614e-05×40589641000000     		ar = 164176.907979314m²