Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 682 / 273
↖ ↑ ↗
← N 82.483335°
W120.058594°		 ← 1 278.45 m → N 82.483335°
W119.970703°		 →
↑
1 279.42 m
↓
↑
1 279.42 m
↓
N 82.471829°
W120.058594°		 ← 1 280.39 m →
1 636 923 m²		 N 82.471829°
W119.970703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1666259765625 y=0.0667724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1666259765625 × 212)
    floor (0.1666259765625 × 4096)
    floor (682.5)     		tx = 682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0667724609375 × 212)
    floor (0.0667724609375 × 4096)
    floor (273.5)     		ty = 273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 682 / 273 ti = "12/682/273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/682/273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 682 ÷ 212
    682 ÷ 4096     		x = 0.16650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 273 ÷ 212
    273 ÷ 4096     		y = 0.066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16650390625 × 2 - 1) × π
    -0.6669921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09541776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.066650390625 × 2 - 1) × π
    0.86669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72281589841919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09541776} λ = -2.09541776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72281589841919))-π/2
    2×atan(15.2231287314397)-π/2
    2×1.50520105007754-π/2
    3.01040210015508-1.57079632675     		φ = 1.43960577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09541776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.058594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43960577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.483335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 682 KachelY 273 -2.09541776 1.43960577 -120.058594 82.483335
    Oben rechts KachelX + 1 683 KachelY 273 -2.09388378 1.43960577 -119.970703 82.483335
    Unten links KachelX 682 KachelY + 1 274 -2.09541776 1.43940495 -120.058594 82.471829
    Unten rechts KachelX + 1 683 KachelY + 1 274 -2.09388378 1.43940495 -119.970703 82.471829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43960577-1.43940495) × R
    0.000200820000000101 × 6371000     		dl = 1279.42422000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43960577-1.43940495) × R
    0.000200820000000101 × 6371000     		dr = 1279.42422000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09541776--2.09388378) × cos(1.43960577) × R
    0.00153398000000005 × 0.130814561217579 × 6371000     		do = 1278.44895124803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09541776--2.09388378) × cos(1.43940495) × R
    0.00153398000000005 × 0.131013652902914 × 6371000     		du = 1280.394671617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43960577)-sin(1.43940495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130814561217579-0.131013652902914)×R²
    abs(-2.09388378--2.09541776)×0.00019909168533544×R²
    0.00153398000000005×0.00019909168533544×6371000²
    0.00153398000000005×0.00019909168533544×40589641000000     		ar = 1636923.25864124m²