Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68199 / 68975
↖ ↑ ↗
← S  9.403001°
E  7.314148°		 ← 301.32 m → S  9.403001°
E  7.316894°		 →
↑
301.28 m
↓
↑
301.28 m
↓
S  9.405710°
E  7.314148°		 ← 301.32 m →
90 783 m²		 S  9.405710°
E  7.316894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520320892333984 y=0.526241302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520320892333984 × 217)
    floor (0.520320892333984 × 131072)
    floor (68199.5)     		tx = 68199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526241302490234 × 217)
    floor (0.526241302490234 × 131072)
    floor (68975.5)     		ty = 68975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68199 / 68975 ti = "17/68199/68975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68199/68975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68199 ÷ 217
    68199 ÷ 131072     		x = 0.520317077636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68975 ÷ 217
    68975 ÷ 131072     		y = 0.526237487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520317077636719 × 2 - 1) × π
    0.0406341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12765596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526237487792969 × 2 - 1) × π
    -0.0524749755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.164854997793373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12765596} λ = 0.12765596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164854997793373))-π/2
    2×atan(0.848016659460178)-π/2
    2×0.703341505350571-π/2
    1.40668301070114-1.57079632675     		φ = -0.16411332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12765596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.314148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16411332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.403001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68199 KachelY 68975 0.12765596 -0.16411332 7.314148 -9.403001
    Oben rechts KachelX + 1 68200 KachelY 68975 0.12770390 -0.16411332 7.316894 -9.403001
    Unten links KachelX 68199 KachelY + 1 68976 0.12765596 -0.16416061 7.314148 -9.405710
    Unten rechts KachelX + 1 68200 KachelY + 1 68976 0.12770390 -0.16416061 7.316894 -9.405710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16411332--0.16416061) × R
    4.72900000000054e-05 × 6371000     		dl = 301.284590000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16411332--0.16416061) × R
    4.72900000000054e-05 × 6371000     		dr = 301.284590000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12765596-0.12770390) × cos(-0.16411332) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986563606822375 × 6371000     		do = 301.32191967077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12765596-0.12770390) × cos(-0.16416061) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98655587959115 × 6371000     		du = 301.319559575455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16411332)-sin(-0.16416061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986563606822375-0.98655587959115)×R²
    abs(0.12770390-0.12765596)×7.72723122555163e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.72723122555163e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.72723122555163e-06×40589641000000     		ar = 90783.2955128144m²