Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68198 / 69228
↖ ↑ ↗
← S 10.087854°
E  7.311402°		 ← 300.64 m → S 10.087854°
E  7.314148°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
S 10.090558°
E  7.311402°		 ← 300.64 m →
90 406 m²		 S 10.090558°
E  7.314148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520313262939453 y=0.528171539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520313262939453 × 217)
    floor (0.520313262939453 × 131072)
    floor (68198.5)     		tx = 68198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528171539306641 × 217)
    floor (0.528171539306641 × 131072)
    floor (69228.5)     		ty = 69228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68198 / 69228 ti = "17/68198/69228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68198/69228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68198 ÷ 217
    68198 ÷ 131072     		x = 0.520309448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69228 ÷ 217
    69228 ÷ 131072     		y = 0.528167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520309448242188 × 2 - 1) × π
    0.040618896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12760803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.05633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.176983033397247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12760803} λ = 0.12760803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176983033397247))-π/2
    2×atan(0.837793998920377)-π/2
    2×0.697365031597948-π/2
    1.3947300631959-1.57079632675     		φ = -0.17606626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12760803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.311402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17606626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.087854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68198 KachelY 69228 0.12760803 -0.17606626 7.311402 -10.087854
    Oben rechts KachelX + 1 68199 KachelY 69228 0.12765596 -0.17606626 7.314148 -10.087854
    Unten links KachelX 68198 KachelY + 1 69229 0.12760803 -0.17611346 7.311402 -10.090558
    Unten rechts KachelX + 1 68199 KachelY + 1 69229 0.12765596 -0.17611346 7.314148 -10.090558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17606626--0.17611346) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17606626--0.17611346) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12760803-0.12765596) × cos(-0.17606626) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984540334624457 × 6371000     		do = 300.641235197814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12760803-0.12765596) × cos(-0.17611346) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98453206606955 × 6371000     		du = 300.638710295102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17606626)-sin(-0.17611346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984540334624457-0.98453206606955)×R²
    abs(0.12765596-0.12760803)×8.26855490698719e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.26855490698719e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.26855490698719e-06×40589641000000     		ar = 90405.8069893551m²