Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68198 / 68808
↖ ↑ ↗
← S  8.950193°
E  7.311402°		 ← 301.64 m → S  8.950193°
E  7.314148°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.952906°
E  7.311402°		 ← 301.64 m →
91 015 m²		 S  8.952906°
E  7.314148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520313262939453 y=0.524967193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520313262939453 × 217)
    floor (0.520313262939453 × 131072)
    floor (68198.5)     		tx = 68198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524967193603516 × 217)
    floor (0.524967193603516 × 131072)
    floor (68808.5)     		ty = 68808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68198 / 68808 ti = "17/68198/68808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68198/68808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68198 ÷ 217
    68198 ÷ 131072     		x = 0.520309448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68808 ÷ 217
    68808 ÷ 131072     		y = 0.52496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520309448242188 × 2 - 1) × π
    0.040618896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12760803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.156849535556824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12760803} λ = 0.12760803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156849535556824))-π/2
    2×atan(0.854832671063518)-π/2
    2×0.707292996649796-π/2
    1.41458599329959-1.57079632675     		φ = -0.15621033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12760803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.311402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15621033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.950193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68198 KachelY 68808 0.12760803 -0.15621033 7.311402 -8.950193
    Oben rechts KachelX + 1 68199 KachelY 68808 0.12765596 -0.15621033 7.314148 -8.950193
    Unten links KachelX 68198 KachelY + 1 68809 0.12760803 -0.15625769 7.311402 -8.952906
    Unten rechts KachelX + 1 68199 KachelY + 1 68809 0.12765596 -0.15625769 7.314148 -8.952906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15621033--0.15625769) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15621033--0.15625769) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12760803-0.12765596) × cos(-0.15621033) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987823956285965 × 6371000     		do = 301.643928574123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12760803-0.12765596) × cos(-0.15625769) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98781658710797 × 6371000     		du = 301.641678306971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15621033)-sin(-0.15625769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987823956285965-0.98781658710797)×R²
    abs(0.12765596-0.12760803)×7.36917799515346e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.36917799515346e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.36917799515346e-06×40589641000000     		ar = 91014.8520190686m²