Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68196 / 68971
↖ ↑ ↗
← S  9.392161°
E  7.305908°		 ← 301.33 m → S  9.392161°
E  7.308655°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.394871°
E  7.305908°		 ← 301.33 m →
90 805 m²		 S  9.394871°
E  7.308655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520298004150391 y=0.526210784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520298004150391 × 217)
    floor (0.520298004150391 × 131072)
    floor (68196.5)     		tx = 68196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526210784912109 × 217)
    floor (0.526210784912109 × 131072)
    floor (68971.5)     		ty = 68971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68196 / 68971 ti = "17/68196/68971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68196/68971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68196 ÷ 217
    68196 ÷ 131072     		x = 0.520294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68971 ÷ 217
    68971 ÷ 131072     		y = 0.526206970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520294189453125 × 2 - 1) × π
    0.04058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12751215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526206970214844 × 2 - 1) × π
    -0.0524139404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.164663250194893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12751215} λ = 0.12751215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164663250194893))-π/2
    2×atan(0.848179280208672)-π/2
    2×0.703436092432816-π/2
    1.40687218486563-1.57079632675     		φ = -0.16392414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12751215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.305908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16392414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.392161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68196 KachelY 68971 0.12751215 -0.16392414 7.305908 -9.392161
    Oben rechts KachelX + 1 68197 KachelY 68971 0.12756009 -0.16392414 7.308655 -9.392161
    Unten links KachelX 68196 KachelY + 1 68972 0.12751215 -0.16397144 7.305908 -9.394871
    Unten rechts KachelX + 1 68197 KachelY + 1 68972 0.12756009 -0.16397144 7.308655 -9.394871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16392414--0.16397144) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16392414--0.16397144) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12751215-0.12756009) × cos(-0.16392414) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986594496947968 × 6371000     		do = 301.331354310238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12751215-0.12756009) × cos(-0.16397144) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986586776910585 × 6371000     		du = 301.328996412107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16392414)-sin(-0.16397144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986594496947968-0.986586776910585)×R²
    abs(0.12756009-0.12751215)×7.72003738247484e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.72003738247484e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.72003738247484e-06×40589641000000     		ar = 90805.3361006863m²