Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68195 / 68970
↖ ↑ ↗
← S  9.389452°
E  7.303162°		 ← 301.27 m → S  9.389452°
E  7.305908°		 →
↑
301.28 m
↓
↑
301.28 m
↓
S  9.392161°
E  7.303162°		 ← 301.27 m →
90 768 m²		 S  9.392161°
E  7.305908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520290374755859 y=0.526203155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520290374755859 × 217)
    floor (0.520290374755859 × 131072)
    floor (68195.5)     		tx = 68195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526203155517578 × 217)
    floor (0.526203155517578 × 131072)
    floor (68970.5)     		ty = 68970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68195 / 68970 ti = "17/68195/68970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68195/68970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68195 ÷ 217
    68195 ÷ 131072     		x = 0.520286560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68970 ÷ 217
    68970 ÷ 131072     		y = 0.526199340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520286560058594 × 2 - 1) × π
    0.0405731201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12746422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526199340820312 × 2 - 1) × π
    -0.052398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.164615313295273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12746422} λ = 0.12746422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164615313295273))-π/2
    2×atan(0.848219940268238)-π/2
    2×0.703459739665977-π/2
    1.40691947933195-1.57079632675     		φ = -0.16387685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12746422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.303162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16387685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.389452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68195 KachelY 68970 0.12746422 -0.16387685 7.303162 -9.389452
    Oben rechts KachelX + 1 68196 KachelY 68970 0.12751215 -0.16387685 7.305908 -9.389452
    Unten links KachelX 68195 KachelY + 1 68971 0.12746422 -0.16392414 7.303162 -9.392161
    Unten rechts KachelX + 1 68196 KachelY + 1 68971 0.12751215 -0.16392414 7.305908 -9.392161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16387685--0.16392414) × R
    4.72900000000054e-05 × 6371000     		dl = 301.284590000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16387685--0.16392414) × R
    4.72900000000054e-05 × 6371000     		dr = 301.284590000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12746422-0.12751215) × cos(-0.16387685) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986602213146609 × 6371000     		do = 301.270854608951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12746422-0.12751215) × cos(-0.16392414) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986594496947968 × 6371000     		du = 301.26849837487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16387685)-sin(-0.16392414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986602213146609-0.986594496947968)×R²
    abs(0.12751215-0.12746422)×7.71619864126105e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.71619864126105e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.71619864126105e-06×40589641000000     		ar = 90767.9109782727m²