Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68195 / 68710
↖ ↑ ↗
← S  8.684209°
E  7.303162°		 ← 301.86 m → S  8.684209°
E  7.305908°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
S  8.686924°
E  7.303162°		 ← 301.86 m →
91 138 m²		 S  8.686924°
E  7.305908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520290374755859 y=0.524219512939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520290374755859 × 217)
    floor (0.520290374755859 × 131072)
    floor (68195.5)     		tx = 68195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524219512939453 × 217)
    floor (0.524219512939453 × 131072)
    floor (68710.5)     		ty = 68710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68195 / 68710 ti = "17/68195/68710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68195/68710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68195 ÷ 217
    68195 ÷ 131072     		x = 0.520286560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68710 ÷ 217
    68710 ÷ 131072     		y = 0.524215698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520286560058594 × 2 - 1) × π
    0.0405731201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12746422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524215698242188 × 2 - 1) × π
    -0.048431396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.152151719394058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12746422} λ = 0.12746422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.152151719394058))-π/2
    2×atan(0.858857965445595)-π/2
    2×0.709614144111007-π/2
    1.41922828822201-1.57079632675     		φ = -0.15156804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12746422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.303162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15156804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.684209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68195 KachelY 68710 0.12746422 -0.15156804 7.303162 -8.684209
    Oben rechts KachelX + 1 68196 KachelY 68710 0.12751215 -0.15156804 7.305908 -8.684209
    Unten links KachelX 68195 KachelY + 1 68711 0.12746422 -0.15161543 7.303162 -8.686924
    Unten rechts KachelX + 1 68196 KachelY + 1 68711 0.12751215 -0.15161543 7.305908 -8.686924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15156804--0.15161543) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dl = 301.921690000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15156804--0.15161543) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dr = 301.921690000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12746422-0.12751215) × cos(-0.15156804) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988535537492904 × 6371000     		do = 301.861218455984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12746422-0.12751215) × cos(-0.15161543) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988528381043512 × 6371000     		du = 301.85903314807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15156804)-sin(-0.15161543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988535537492904-0.988528381043512)×R²
    abs(0.12751215-0.12746422)×7.15644939242033e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.15644939242033e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.15644939242033e-06×40589641000000     		ar = 91138.1193428361m²