Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68194 / 68833
↖ ↑ ↗
← S  9.018015°
E  7.300415°		 ← 301.65 m → S  9.018015°
E  7.303162°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  9.020728°
E  7.300415°		 ← 301.65 m →
90 998 m²		 S  9.020728°
E  7.303162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520282745361328 y=0.525157928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520282745361328 × 217)
    floor (0.520282745361328 × 131072)
    floor (68194.5)     		tx = 68194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525157928466797 × 217)
    floor (0.525157928466797 × 131072)
    floor (68833.5)     		ty = 68833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68194 / 68833 ti = "17/68194/68833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68194/68833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68194 ÷ 217
    68194 ÷ 131072     		x = 0.520278930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68833 ÷ 217
    68833 ÷ 131072     		y = 0.525154113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520278930664062 × 2 - 1) × π
    0.040557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12741628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525154113769531 × 2 - 1) × π
    -0.0503082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.158047958047325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12741628} λ = 0.12741628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158047958047325))-π/2
    2×atan(0.85380883398213)-π/2
    2×0.706701136741962-π/2
    1.41340227348392-1.57079632675     		φ = -0.15739405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12741628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.300415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15739405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.018015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68194 KachelY 68833 0.12741628 -0.15739405 7.300415 -9.018015
    Oben rechts KachelX + 1 68195 KachelY 68833 0.12746422 -0.15739405 7.303162 -9.018015
    Unten links KachelX 68194 KachelY + 1 68834 0.12741628 -0.15744140 7.300415 -9.020728
    Unten rechts KachelX + 1 68195 KachelY + 1 68834 0.12746422 -0.15744140 7.303162 -9.020728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15739405--0.15744140) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15739405--0.15744140) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12741628-0.12746422) × cos(-0.15739405) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987639106070044 × 6371000     		do = 301.650404824359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12741628-0.12746422) × cos(-0.15744140) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987631683086971 × 6371000     		du = 301.64813765426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15739405)-sin(-0.15744140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987639106070044-0.987631683086971)×R²
    abs(0.12746422-0.12741628)×7.42298307332412e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.42298307332412e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.42298307332412e-06×40589641000000     		ar = 90997.5854765365m²