Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68194 / 68810
↖ ↑ ↗
← S  8.955619°
E  7.300415°		 ← 301.70 m → S  8.955619°
E  7.303162°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  8.958332°
E  7.300415°		 ← 301.70 m →
91 013 m²		 S  8.958332°
E  7.303162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520282745361328 y=0.524982452392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520282745361328 × 217)
    floor (0.520282745361328 × 131072)
    floor (68194.5)     		tx = 68194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524982452392578 × 217)
    floor (0.524982452392578 × 131072)
    floor (68810.5)     		ty = 68810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68194 / 68810 ti = "17/68194/68810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68194/68810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68194 ÷ 217
    68194 ÷ 131072     		x = 0.520278930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68810 ÷ 217
    68810 ÷ 131072     		y = 0.524978637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520278930664062 × 2 - 1) × π
    0.040557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12741628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524978637695312 × 2 - 1) × π
    -0.049957275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.156945409356064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12741628} λ = 0.12741628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156945409356064))-π/2
    2×atan(0.854750718936222)-π/2
    2×0.707245643785208-π/2
    1.41449128757042-1.57079632675     		φ = -0.15630504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12741628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.300415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15630504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.955619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68194 KachelY 68810 0.12741628 -0.15630504 7.300415 -8.955619
    Oben rechts KachelX + 1 68195 KachelY 68810 0.12746422 -0.15630504 7.303162 -8.955619
    Unten links KachelX 68194 KachelY + 1 68811 0.12741628 -0.15635239 7.300415 -8.958332
    Unten rechts KachelX + 1 68195 KachelY + 1 68811 0.12746422 -0.15635239 7.303162 -8.958332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15630504--0.15635239) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15630504--0.15635239) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12741628-0.12746422) × cos(-0.15630504) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987809217271026 × 6371000     		do = 301.702361163801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12741628-0.12746422) × cos(-0.15635239) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987801845219391 × 6371000     		du = 301.700109549475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15630504)-sin(-0.15635239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987809217271026-0.987801845219391)×R²
    abs(0.12746422-0.12741628)×7.37205163459098e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.37205163459098e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.37205163459098e-06×40589641000000     		ar = 91013.2613281232m²