Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68193 / 69473
↖ ↑ ↗
← S 10.749668°
E  7.297668°		 ← 300.07 m → S 10.749668°
E  7.300415°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
S 10.752366°
E  7.297668°		 ← 300.06 m →
90 023 m²		 S 10.752366°
E  7.300415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520275115966797 y=0.530040740966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520275115966797 × 217)
    floor (0.520275115966797 × 131072)
    floor (68193.5)     		tx = 68193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530040740966797 × 217)
    floor (0.530040740966797 × 131072)
    floor (69473.5)     		ty = 69473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68193 / 69473 ti = "17/68193/69473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68193/69473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68193 ÷ 217
    68193 ÷ 131072     		x = 0.520271301269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69473 ÷ 217
    69473 ÷ 131072     		y = 0.530036926269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520271301269531 × 2 - 1) × π
    0.0405426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12736834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530036926269531 × 2 - 1) × π
    -0.0600738525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.188727573804161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12736834} λ = 0.12736834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.188727573804161))-π/2
    2×atan(0.828012048144024)-π/2
    2×0.691589615846889-π/2
    1.38317923169378-1.57079632675     		φ = -0.18761710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12736834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.297668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18761710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.749668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68193 KachelY 69473 0.12736834 -0.18761710 7.297668 -10.749668
    Oben rechts KachelX + 1 68194 KachelY 69473 0.12741628 -0.18761710 7.300415 -10.749668
    Unten links KachelX 68193 KachelY + 1 69474 0.12736834 -0.18766419 7.297668 -10.752366
    Unten rechts KachelX + 1 68194 KachelY + 1 69474 0.12741628 -0.18766419 7.300415 -10.752366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18761710--0.18766419) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18761710--0.18766419) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12736834-0.12741628) × cos(-0.18761710) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982451478539216 × 6371000     		do = 300.065969846911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12736834-0.12741628) × cos(-0.18766419) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982442694301165 × 6371000     		du = 300.063286914504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18761710)-sin(-0.18766419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982451478539216-0.982442694301165)×R²
    abs(0.12741628-0.12736834)×8.78423805117379e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.78423805117379e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.78423805117379e-06×40589641000000     		ar = 90022.5062023343m²