Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68191 / 69230
↖ ↑ ↗
← S 10.093262°
E  7.292175°		 ← 300.70 m → S 10.093262°
E  7.294922°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
S 10.095966°
E  7.292175°		 ← 300.70 m →
90 423 m²		 S 10.095966°
E  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520259857177734 y=0.528186798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520259857177734 × 217)
    floor (0.520259857177734 × 131072)
    floor (68191.5)     		tx = 68191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528186798095703 × 217)
    floor (0.528186798095703 × 131072)
    floor (69230.5)     		ty = 69230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68191 / 69230 ti = "17/68191/69230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68191/69230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68191 ÷ 217
    68191 ÷ 131072     		x = 0.520256042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69230 ÷ 217
    69230 ÷ 131072     		y = 0.528182983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520256042480469 × 2 - 1) × π
    0.0405120849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12727247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528182983398438 × 2 - 1) × π
    -0.056365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.177078907196487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12727247} λ = 0.12727247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177078907196487))-π/2
    2×atan(0.837713680277008)-π/2
    2×0.697317836183134-π/2
    1.39463567236627-1.57079632675     		φ = -0.17616065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12727247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.292175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17616065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.093262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68191 KachelY 69230 0.12727247 -0.17616065 7.292175 -10.093262
    Oben rechts KachelX + 1 68192 KachelY 69230 0.12732041 -0.17616065 7.294922 -10.093262
    Unten links KachelX 68191 KachelY + 1 69231 0.12727247 -0.17620785 7.292175 -10.095966
    Unten rechts KachelX + 1 68192 KachelY + 1 69231 0.12732041 -0.17620785 7.294922 -10.095966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17616065--0.17620785) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17616065--0.17620785) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12727247-0.12732041) × cos(-0.17616065) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984523797073773 × 6371000     		do = 300.698909268844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12727247-0.12732041) × cos(-0.17620785) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984515524132589 × 6371000     		du = 300.696382499661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17616065)-sin(-0.17620785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984523797073773-0.984515524132589)×R²
    abs(0.12732041-0.12727247)×8.2729411836624e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.2729411836624e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.2729411836624e-06×40589641000000     		ar = 90423.1499478241m²