Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68186 / 68813
↖ ↑ ↗
← S  8.963759°
E  7.278442°		 ← 301.70 m → S  8.963759°
E  7.281189°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  8.966472°
E  7.278442°		 ← 301.69 m →
91 011 m²		 S  8.966472°
E  7.281189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520221710205078 y=0.525005340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520221710205078 × 217)
    floor (0.520221710205078 × 131072)
    floor (68186.5)     		tx = 68186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525005340576172 × 217)
    floor (0.525005340576172 × 131072)
    floor (68813.5)     		ty = 68813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68186 / 68813 ti = "17/68186/68813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68186/68813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68186 ÷ 217
    68186 ÷ 131072     		x = 0.520217895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68813 ÷ 217
    68813 ÷ 131072     		y = 0.525001525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520217895507812 × 2 - 1) × π
    0.040435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12703278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525001525878906 × 2 - 1) × π
    -0.0500030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.157089220054924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12703278} λ = 0.12703278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157089220054924))-π/2
    2×atan(0.854627805476328)-π/2
    2×0.707174615813552-π/2
    1.4143492316271-1.57079632675     		φ = -0.15644710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12703278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.278442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15644710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.963759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68186 KachelY 68813 0.12703278 -0.15644710 7.278442 -8.963759
    Oben rechts KachelX + 1 68187 KachelY 68813 0.12708072 -0.15644710 7.281189 -8.963759
    Unten links KachelX 68186 KachelY + 1 68814 0.12703278 -0.15649445 7.278442 -8.966472
    Unten rechts KachelX + 1 68187 KachelY + 1 68814 0.12708072 -0.15649445 7.281189 -8.966472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15644710--0.15649445) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15644710--0.15649445) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12703278-0.12708072) × cos(-0.15644710) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98778709291402 × 6371000     		do = 301.69560381569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12703278-0.12708072) × cos(-0.15649445) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987779714217945 × 6371000     		du = 301.693350171981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15644710)-sin(-0.15649445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98778709291402-0.987779714217945)×R²
    abs(0.12708072-0.12703278)×7.37869607447816e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.37869607447816e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.37869607447816e-06×40589641000000     		ar = 91011.2225541573m²