Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68185 / 72407
↖ ↑ ↗
← S 18.539513°
E  7.275696°		 ← 289.52 m → S 18.539513°
E  7.278442°		 →
↑
289.56 m
↓
↑
289.56 m
↓
S 18.542117°
E  7.275696°		 ← 289.51 m →
83 832 m²		 S 18.542117°
E  7.278442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520214080810547 y=0.552425384521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520214080810547 × 217)
    floor (0.520214080810547 × 131072)
    floor (68185.5)     		tx = 68185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552425384521484 × 217)
    floor (0.552425384521484 × 131072)
    floor (72407.5)     		ty = 72407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68185 / 72407 ti = "17/68185/72407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68185/72407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68185 ÷ 217
    68185 ÷ 131072     		x = 0.520210266113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72407 ÷ 217
    72407 ÷ 131072     		y = 0.552421569824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520210266113281 × 2 - 1) × π
    0.0404205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12698485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552421569824219 × 2 - 1) × π
    -0.104843139648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.329374437289406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12698485} λ = 0.12698485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329374437289406))-π/2
    2×atan(0.719373606008406)-π/2
    2×0.623610394871936-π/2
    1.24722078974387-1.57079632675     		φ = -0.32357554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12698485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.275696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32357554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.539513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68185 KachelY 72407 0.12698485 -0.32357554 7.275696 -18.539513
    Oben rechts KachelX + 1 68186 KachelY 72407 0.12703278 -0.32357554 7.278442 -18.539513
    Unten links KachelX 68185 KachelY + 1 72408 0.12698485 -0.32362099 7.275696 -18.542117
    Unten rechts KachelX + 1 68186 KachelY + 1 72408 0.12703278 -0.32362099 7.278442 -18.542117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32357554--0.32362099) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dl = 289.561950000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32357554--0.32362099) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dr = 289.561950000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12698485-0.12703278) × cos(-0.32357554) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948104607421712 × 6371000     		do = 289.515147574657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12698485-0.12703278) × cos(-0.32362099) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948090155225377 × 6371000     		du = 289.510734422646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32357554)-sin(-0.32362099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948104607421712-0.948090155225377)×R²
    abs(0.12703278-0.12698485)×1.44521963346689e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.44521963346689e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.44521963346689e-05×40589641000000     		ar = 83831.9317601709m²