Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68184 / 69304
↖ ↑ ↗
← S 10.293301°
E  7.272949°		 ← 300.51 m → S 10.293301°
E  7.275696°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
S 10.296003°
E  7.272949°		 ← 300.51 m →
90 309 m²		 S 10.296003°
E  7.275696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520206451416016 y=0.528751373291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520206451416016 × 217)
    floor (0.520206451416016 × 131072)
    floor (68184.5)     		tx = 68184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528751373291016 × 217)
    floor (0.528751373291016 × 131072)
    floor (69304.5)     		ty = 69304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68184 / 69304 ti = "17/68184/69304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68184/69304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68184 ÷ 217
    68184 ÷ 131072     		x = 0.52020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69304 ÷ 217
    69304 ÷ 131072     		y = 0.52874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52020263671875 × 2 - 1) × π
    0.0404052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12693691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.180626237768372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12693691} λ = 0.12693691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180626237768372))-π/2
    2×atan(0.834747297409429)-π/2
    2×0.695572166724624-π/2
    1.39114433344925-1.57079632675     		φ = -0.17965199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12693691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.272949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17965199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.293301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68184 KachelY 69304 0.12693691 -0.17965199 7.272949 -10.293301
    Oben rechts KachelX + 1 68185 KachelY 69304 0.12698485 -0.17965199 7.275696 -10.293301
    Unten links KachelX 68184 KachelY + 1 69305 0.12693691 -0.17969916 7.272949 -10.296003
    Unten rechts KachelX + 1 68185 KachelY + 1 69305 0.12698485 -0.17969916 7.275696 -10.296003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17965199--0.17969916) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dl = 300.520069999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17965199--0.17969916) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dr = 300.520069999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12693691-0.12698485) × cos(-0.17965199) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.983905937291585 × 6371000     		do = 300.510198987827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12693691-0.12698485) × cos(-0.17969916) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.983897507522937 × 6371000     		du = 300.507624319499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17965199)-sin(-0.17969916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983905937291585-0.983897507522937)×R²
    abs(0.12698485-0.12693691)×8.42976864823264e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.42976864823264e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.42976864823264e-06×40589641000000     		ar = 90308.9591824876m²