Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68184 / 69207
↖ ↑ ↗
← S 10.031062°
E  7.272949°		 ← 300.76 m → S 10.031062°
E  7.275696°		 →
↑
300.77 m
↓
↑
300.77 m
↓
S 10.033767°
E  7.272949°		 ← 300.75 m →
90 460 m²		 S 10.033767°
E  7.275696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520206451416016 y=0.528011322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520206451416016 × 217)
    floor (0.520206451416016 × 131072)
    floor (68184.5)     		tx = 68184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528011322021484 × 217)
    floor (0.528011322021484 × 131072)
    floor (69207.5)     		ty = 69207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68184 / 69207 ti = "17/68184/69207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68184/69207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68184 ÷ 217
    68184 ÷ 131072     		x = 0.52020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69207 ÷ 217
    69207 ÷ 131072     		y = 0.528007507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52020263671875 × 2 - 1) × π
    0.0404052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12693691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528007507324219 × 2 - 1) × π
    -0.0560150146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.175976358505226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12693691} λ = 0.12693691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175976358505226))-π/2
    2×atan(0.838637809754107)-π/2
    2×0.697860631226571-π/2
    1.39572126245314-1.57079632675     		φ = -0.17507506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12693691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.272949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17507506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.031062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68184 KachelY 69207 0.12693691 -0.17507506 7.272949 -10.031062
    Oben rechts KachelX + 1 68185 KachelY 69207 0.12698485 -0.17507506 7.275696 -10.031062
    Unten links KachelX 68184 KachelY + 1 69208 0.12693691 -0.17512227 7.272949 -10.033767
    Unten rechts KachelX + 1 68185 KachelY + 1 69208 0.12698485 -0.17512227 7.275696 -10.033767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17507506--0.17512227) × R
    4.7209999999992e-05 × 6371000     		dl = 300.774909999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17507506--0.17512227) × R
    4.7209999999992e-05 × 6371000     		dr = 300.774909999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12693691-0.12698485) × cos(-0.17507506) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.984713467574162 × 6371000     		do = 300.756839521955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12693691-0.12698485) × cos(-0.17512227) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.984705243342195 × 6371000     		du = 300.754327629821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17507506)-sin(-0.17512227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984713467574162-0.984705243342195)×R²
    abs(0.12698485-0.12693691)×8.22423196633615e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.22423196633615e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.22423196633615e-06×40589641000000     		ar = 90459.7335988079m²