Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68184 / 69175
↖ ↑ ↗
← S  9.944504°
E  7.272949°		 ← 300.84 m → S  9.944504°
E  7.275696°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.947209°
E  7.272949°		 ← 300.83 m →
90 503 m²		 S  9.947209°
E  7.275696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520206451416016 y=0.527767181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520206451416016 × 217)
    floor (0.520206451416016 × 131072)
    floor (68184.5)     		tx = 68184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527767181396484 × 217)
    floor (0.527767181396484 × 131072)
    floor (69175.5)     		ty = 69175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68184 / 69175 ti = "17/68184/69175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68184/69175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68184 ÷ 217
    68184 ÷ 131072     		x = 0.52020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69175 ÷ 217
    69175 ÷ 131072     		y = 0.527763366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52020263671875 × 2 - 1) × π
    0.0404052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12693691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527763366699219 × 2 - 1) × π
    -0.0555267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.174442377717384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12693691} λ = 0.12693691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174442377717384))-π/2
    2×atan(0.839925251245027)-π/2
    2×0.698615997618518-π/2
    1.39723199523704-1.57079632675     		φ = -0.17356433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12693691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.272949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17356433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.944504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68184 KachelY 69175 0.12693691 -0.17356433 7.272949 -9.944504
    Oben rechts KachelX + 1 68185 KachelY 69175 0.12698485 -0.17356433 7.275696 -9.944504
    Unten links KachelX 68184 KachelY + 1 69176 0.12693691 -0.17361155 7.272949 -9.947209
    Unten rechts KachelX + 1 68185 KachelY + 1 69176 0.12698485 -0.17361155 7.275696 -9.947209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17356433--0.17361155) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dl = 300.838620000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17356433--0.17361155) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dr = 300.838620000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12693691-0.12698485) × cos(-0.17356433) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.984975485815399 × 6371000     		do = 300.836866637179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12693691-0.12698485) × cos(-0.17361155) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.984967330096394 × 6371000     		du = 300.834375670667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17356433)-sin(-0.17361155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984975485815399-0.984967330096394)×R²
    abs(0.12698485-0.12693691)×8.15571900447676e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.15571900447676e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.15571900447676e-06×40589641000000     		ar = 90502.9731315851m²