Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6818 / 1250
↖ ↑ ↗
← N 82.015276°
W 30.190430°		 ← 339.38 m → N 82.015276°
W 30.168457°		 →
↑
339.45 m
↓
↑
339.45 m
↓
N 82.012223°
W 30.190430°		 ← 339.51 m →
115 225 m²		 N 82.012223°
W 30.168457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416168212890625 y=0.076324462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416168212890625 × 214)
    floor (0.416168212890625 × 16384)
    floor (6818.5)     		tx = 6818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.076324462890625 × 214)
    floor (0.076324462890625 × 16384)
    floor (1250.5)     		ty = 1250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6818 / 1250 ti = "14/6818/1250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6818/1250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6818 ÷ 214
    6818 ÷ 16384     		x = 0.4161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1250 ÷ 214
    1250 ÷ 16384     		y = 0.0762939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4161376953125 × 2 - 1) × π
    -0.167724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52692240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0762939453125 × 2 - 1) × π
    0.847412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.66222365729944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52692240} λ = -0.52692240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66222365729944))-π/2
    2×atan(14.3281145175855)-π/2
    2×1.5011164643867-π/2
    3.0022329287734-1.57079632675     		φ = 1.43143660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52692240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.190430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43143660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.015276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6818 KachelY 1250 -0.52692240 1.43143660 -30.190430 82.015276
    Oben rechts KachelX + 1 6819 KachelY 1250 -0.52653891 1.43143660 -30.168457 82.015276
    Unten links KachelX 6818 KachelY + 1 1251 -0.52692240 1.43138332 -30.190430 82.012223
    Unten rechts KachelX + 1 6819 KachelY + 1 1251 -0.52653891 1.43138332 -30.168457 82.012223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43143660-1.43138332) × R
    5.32800000001554e-05 × 6371000     		dl = 339.44688000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43143660-1.43138332) × R
    5.32800000001554e-05 × 6371000     		dr = 339.44688000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52692240--0.52653891) × cos(1.43143660) × R
    0.000383490000000042 × 0.138909077315082 × 6371000     		do = 339.384712161499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52692240--0.52653891) × cos(1.43138332) × R
    0.000383490000000042 × 0.138961840575696 × 6371000     		du = 339.5136241402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43143660)-sin(1.43138332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138909077315082-0.138961840575696)×R²
    abs(-0.52653891--0.52692240)×5.27632606140138e-05×R²
    0.000383490000000042×5.27632606140138e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.27632606140138e-05×40589641000000     		ar = 115224.961075491m²